- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Билет 37
Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
Пусть задана функция f(x) на отрезке . Составим разбиениеR: .
Это интегральная сумма, соответствующая разбиению R и выбору точек .
Если существует предел при интегральных сумм, и он не зависит отR и , то он называетсяопределенным интегралом Римана.
Определение по Коши:
По Гейне:
, где - последовательность разбиений.
Критерий Коши:
Билет 38
Ограниченность интегрируемой функции.
Теорема:
Если функция f(x) интегрируема на [a,b] и существует , то функция ограничена на этом отрезке.
Доказательство:
От противного: пусть f(x) неограниченна на [a,b]. Введем произвольное разбиение R: . Т.к. функция неограниченна на [a,b], то она неограниченна хотя бы на одном из отрезков . Пусть- номер того отрезка, на котором функция неограниченна. Тогда рассмотрим интегральную сумму:
- т.е. выделили суммы одно слагаемое. Обозначим , тогда получим:
(следует из неравенства о модулях). Тогда возьмем произвольное N и сделаем разность . Для этого у нас должно быть. У нас функция неограниченна на отрезке, значит. Тогда интегральная сумма будет, т.е. будет являться величиной неограниченной, т.е. не будет существовать ее предела, а значит и, что противоречит условию.
Теорема доказана.
Билет 39
Суммы Дарбу. Их Свойства.
Определение:
Пусть ограничена на отрезке. Введём разбиениеR этого отрезка.
R: ,.
Тогда можем составить выражения:
- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.
, .
Пусть ограничена на отрезке. Введём разбиениеR этого отрезка.
R: ,.
Тогда можем составить выражения:
- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.
, .
Свойства сумм Дарбу:
1) , для одного и того же разбиения.
2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. - продолжение, если все точкиявляются точками.
Добавление точек не увеличивает и не уменьшает. Пустьполучается издобавлением одной точки.
, ,
,
,
Заметим, что если , тои. Отсюда заключаем:
, ,,.
3) ,,
,
=> , т.е..
- нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу). .
- верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). .
.
Билет 40
Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
Теорема:
Функция интегрируема на отрезкетогда и только тогда, когда.
Доказательство:
Докажем необходимость условия:
Функция интегрируема на отрезке.
Пусть , тогда, т.е..
т.е. и.
Далее имеем: , т.е..
Необходимость доказана.
Докажем достаточность условия:
.
.
.
Докажем, что .
,
,
, тогда , т.е.,
.
Достаточность доказана.
Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
Теорема (Основная)
Ограниченная функция f интегрируема на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда .
Доказательство:
По теореме об интегрируемости (f интегрируема ) функция интегрируема тогда и только тогда, когда (1). Надо доказать, что если . Т.е. если найдется одноR*, удовлетворяющее неравенству (1), то оно (неравенство) будет выполняться для всех R. Возьмем произвольное . Нужно найтиδ, такое чтобы выполнялось неравенство . По условию теоремы. Рассмотрим наше разбиениеR* и произвольное R, как показано на рисунке. Составим разность верхней и нижней сумм Дарбý для нового разбиения R: . Нужно сделать его меньше. Из условия имеем. Обозначим через Σ первую сумму и разобъем ее: Σ=Σ1+Σ2. Σ1 – такие слагаемые, что элемент нового разбиения R содержит в себе хотя бы одну точку границы старого раазбиения R*. Все остальное войдет в Σ2. Рассмотрим отдельно Σ1 и Σ2:
Σ1: т.к. функцияf – ограничена (k - константа). Тогда (M и m – максимум и минимум на [a,b]). Получим Σ1, где λR<δ, а количество красных отрезков не превосходит 2n. Для того чтобы это неравенство выполнялось, достаточно взять δ</8kn. Т.е. при δ</8kn Σ1</2.
Σ2: разобъем Σ2 на повторные суммы, т.е. Σ2=Σ(Σi). Σi≤≤(Mi*-mi*)ΣΔxi*, где Mj и mj – максимум и минимум на j-том участке. Σi – группировка тех новых j-тых участков, которые попали в один и тот же старый. Получим Σ2Σ1+Σ2<ε, т.е. Σ<. В итоге:
. Теорема доказана.
Следствие 1: Функция f – интегрируема на [a,b], если с:(если существует такая последовательность разбиений с мелкостью, стремящейся к нулю, что модуль разности последовательности интегральных сумм и интеграла стремится к нулю).
Следствие 2: Функция f – интегрируема на [a,b], если (если верхний интеграл равен нижнему).
Билет 42