Матан (интегрирование)
.docxПервообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
Определение 1: Функция F называется первообразной функции f на интервале (a,b), если функция f непрерывна на интервале (a,b), и для всех x из этого интервала выполняется равенство: F΄(x)=f(x).
Замечание: Вместо (a,b) можно рассматривать [a,b], (a,b] и [a,b), но нужно будет говорить про односторонние производные: =f(a), и =f(b).
Пример
.
на промежутке (-∞,0) и на (0,+∞).
Теорема:(О множестве всех первообразных).
Пусть F(x) является первообразной функции f(x) на на промежутке I, тогда функции вида F(x)+C и только они являются первообразными функции f(x), где C – произвольная константа.
Доказательство:
Пусть функция F(x) – первообразная функции f(x), тогда F΄(x)=f(x) и (F(x)+C)΄=f(x). Пусть функции F и G – первообразные функции f(x) на промежутке I (нужно доказать, что они отличаются на константу). Тогда (F-G)΄=0F-G=C (по теореме о функции, имеющей нулевую производную).
Теорема доказана.
Определение 2: Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке I называется неопределенным интегралом и обозначается. При этом если функция F(x) – первообразная функции f(x), то.
Пример:
.
Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
1. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x) на промежутке I и функция g(x) имеет первообразную G(x) на промежутке I, тогда функция f(x)±g(x) будет иметь первообразную F(x)±G(x) на промежутке I. Для интегралов:.
Замечание: Обратное неверно! Из существования интеграла не следует существование интегралов и.
Первообразной функции k·f(x) является функция k·F(x). Для интегралов:.
2. Первообразной производной функции f΄(x) является сама функция f(x). Для интегралов: .
3. (по определению).
Билет 28
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки) (1).
В этой формуле предполагается, что есть непрерывно дифференцируемая функция на некотором интервале изменения , а - непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси . Докажем это утверждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от . Ее производная по равна:
Следовательно, если ввести в этой функции подстановку , то получится первообразная от функции . Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от . Но две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную . Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер - мы просто уславливаемся писать:
Пример: .
Билет 29
Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
Пусть даны U и V, тогда по правилу интегрирования по частям
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Правило:
При интегрировании выражений вида , где P(x)-многочлен,
Если за U принимаем
Если за U принимаем
Пример5.
Билет 30
Интегрирование простейших рациональных дробей
1.
2.
4.
5.
рассмотрено в пункте 3
рассмотрено в пункте 4.
6.
7.
8.-случай 7
9.Случай 8.
Билет 31
Интегрирование рациональных дробей.
Пусть нужно найти неопределенный интеграл от рациональной действительной дроби. Если степень многочлена P k не меньше степени многочлена Q n (), то прежде всего разделим P на Q :
Многочлен R интегрируется без труда, а – правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной дроби, которую мы снова обозначим через и представим в виде:
Тогда пусть ,
1 случай.
Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1)
. Тогда
Приравнивая тождественно равные числители, получим:
Существуют 2 метода нахождения :
-
сравниваем коэффициенты при x с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий.
-
Т.к. равенства тождественны, можем взять , тогда . Так, подставляя поочередно найдем все
Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать.
Пример
2 случай.
Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде:
.
Пусть существуют n различных корней с кратностями , тогда
- и делаем все так же, как и в предыдущем примере.
Пример
3 случай.
Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни;
, где многочлены , имеют комплексные корни.
Тогда R(x) представим в виде:
Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
Пример
4 случай
Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни;
Тогда R(x) представим в виде:
А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A, B...
Пример
Теорема 1
Любой многочлен над полем С раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:
Доказательство
Если , то все в порядке: - линейный множитель с вещественными коэффициентами
Пусть тогда существует невещественный корень . Ему соответствует скобка .
Тогда если – корень, то сопряженный к нему тоже будет корнем. Тогда наряду с множителем будет присутствовать множитель . Перемножим эти 2 скобки: - квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами, что и требовалось доказать.
Теперь нам нужно доказать, что любые правильные дроби раскладываются на простейшие.
Лемма 1
Пусть многочлен представим в виде: , где - выделили максимальное кол-во скобок (x-a)
и - степень числителя меньше степени знаменателя, тогда
, причем дробь - правильная; если , то ; M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Доказательство
Действуем так же, как в примерах: приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
; подставим , тогда , по условию
- нам нужно доказать, что это – многочлен, а не дробь. Подставим x=a, числитель при такой подстановке = 0, а это значит, что многочлен делится на , т.е. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Теперь докажем, что дробь - правильная, т.е. что .
Степень знаменателя дроби = n-1, для числителя ( M(x)): по условию и , да еще делим на (x-a) (), значит - меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать.
Лемма 2
Если многочлен Q(x) имеет комплексный корень кратности k, т е представим в виде , при этом многочлен имеет только комплексные корни, которые не являются корнями N(x). , тогда дробь можно представить в виде:
, причем вторая дробь будет правильной. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Доказательство
Снова приведем дробь к общему знаменателю и приравняем числители. Получим
Пусть , - корень многочлена , , значит сопряженное к нему тоже корень. Подставим и :
; Найдем определитель системы, чтобы выяснить, имеет она решения, или нет:
, значит, система разрешима и существуют A и B – решения системы, нужно доказать, что
, заменим A и B на : , решим сопряженную систему: - получили исходную систему;
так как столбец - решение, столбец является решением. А т.к. решение должно быть единственным (определитель), ; M(x) находится аналогично Лемме 1 ; теорема доказана.
Обобщая все вышесказанное, получаем: («Теорему о разложении на простейшие дроби»)
Пусть многочлен представим в виде: и положим , тогда
Заметим, что в самой последней дроби степень числителя (первая) меньше степени знаменателя (вторая) , т.е. последняя дробь – правильная. И каждую из дробей-слагаемых мы можем проинтегрировать в элементарных функциях.
Общий вывод: Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
Билет 32
Интегрирование выражений вида.
Докажем, что любой такой интеграл – берущийся в элементарных функциях. Пусть, т.к.. Пусть m=НОК,. Сделаем замену:, тогда, причем последнее выражение - рациональное, т.к. m делится на любое .
Тогда получим, что x=φ(t), dx=φ΄(t)dt, где φ(t) и φ΄(t)dt – рациональные выражения, поэтому: - тоже рациональное выражение
Билет 33
Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
Пусть многочлен имеет вещественные корни.
Пусть - корни, тогда .
Рассмотрим подстановку
Билет 34
Вторая подстановка Эйлера для интегралов вида , где .
Корни трехчлена ax2+bx+c комплéксные. Тогда надо считать, что a>0, иначе трехчлен был бы отрицателен для всех x. Делаем подстановку.Возводя это равенство в квадрат и заменяя его выражением, получим:
Где x, y и dx – некоторые рациональные функции от t. В конечном счете получаем:
.
Билет 35
Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть , где и - многочлены от и .
1) Если один из многочленов , четный по , а другой – нечетный по , то подстановка рационализирует интеграл.
2) Если один из многочленов , четный по , а другой – нечетный по , то подстановка рационализирует интеграл.
3) Если оба многочлена четные по и , то подстановка рационализирует интеграл.
3’) Выражения вида , где и - четные. Они сходны с 3 случаем, где
4) Универсальная подстановка.
Рационализация также достигается с помощью подстановки , которая называется универсальной. В самом деле,
; ;
.
5) Выражения вида ; ; . Они рационализируются с помощью перевода в тригонометрические суммы.
Билет 36
Тригонометрические подстановки.
Следующие интегралы превращаются в тригонометрические выражения при помощи тригонометрических подстановок:
Пример: