4.4. Плотность распределения непрерывной случайной величины
Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей, т.е. законом распределения. Однако такой способ неприменим для непрерывных случайных величин. Это связано с тем, что вероятность любого отдельного значения НСВ равна нулю. Действительно, воспользуемся свойством 2 функции распределения и устремим a к b. В результате получим
.
Т
Рис.
4.3
.
Таким образом, в случае НСВ P(X=a)=0.
На первый взгляд, этот результат кажется парадоксальным, т.к. события, вероятности которых равны нулю, рассматриваются как невозможные. В действительности это означает, что вероятность того, что НСВ примет какое-либо конкретное значение, является бесконечно малой величиной. Таким образом, нет смысла рассматривать вероятность принятия НСВ отдельного значения, а имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее значений в какой-либо интервал.
Пусть имеется НСВ X с функцией распределения F(x), относительно которой будем предполагать, что она непрерывна и дифференцируема в некотором интервале. Рассмотрим вероятность попадания значения случайной величины в интервал (x, x+x). Эту вероятность несложно вычислить, используя свойство 2 для функции F(x):
P(x<X<x+x) = F(x+x)–F(x),
т.е. равна приращению функции F(x) на этом интервале. Определим теперь вероятность, которая приходится на единицу длины рассматриваемого интервала. Для этого разделим обе части последнего равенства на длину интервала x. В результате получим
.
Перейдем в полученном равенстве к пределу при x0. В результате получим производную функции F(x), которая существует, поскольку предполагалось, что F(x) – дифференцируема:
.
Полученная функция называется плотностью распределения:
f(x) = F(x) (4.2)
В некотором смысле плотность распределения f(x) "более удобная", чем функция F(x), поскольку позволяет в явной форме судить о характере распределения вероятностей случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.
Рассмотрим общие свойства плотности распределения.
Свойство 1. Плотность распределения f(x) есть неотрицательная функция:
f(x) 0.
Это свойство непосредственно вытекает из определения функции f(x) как производной неубывающей функции F(x). Из математического анализа известно, что производная неубывающей функции неотрицательна, т.е. F(x)0.
Свойство 2. Вероятность того, что НСВ X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:
.
Используя соотношение P(aX<b)=F(b)–F(a) и формулу Ньютона-Лейбница
,
получаем
.
Так как для НСВ P(aX<b)= P(a<X<b), получаем исходное равенство. Здесь учтено, что P(X=a)=0.
Свойство 3. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах – до + равен единице:
.
Согласно определению несобственного интеграла и свойству 4 для функции F(x), получим
.
Свойство 4. Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x):
.
Действительно,
.
В связи с последним свойством, функцию распределения F(x) НСВ называют интегральной функцией распределения, а плотность распределения f(x) – дифференциальной функцией распределения.
Пример 4.2. Функция распределения НСВ имеет вид
Определить плотность распределения f(x) и параметр a. Найти также вероятность попадания случайной величины в интервал (0;/2). Построить графики F(x) и f(x).
Решение. Согласно определению плотности распределения: f(x)=F(x), получим
Для определения параметра a воспользуемся свойством 3 для f(x):
.
Отсюда находим, что a=1/2. Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал (0;/2) воспользуемся свойством 2 для функции F(x):
Рис.
4.4
Графики F(x) и f(x) изображены ниже на рис.4.4
Пример 4.3. Случайная величина задана плотностью распределения:
Найти функцию распределения F(x), а также вероятность попадания НСВ в интервал (1;2).
Решение. Воспользуемся свойством 4 для f(x):
.
Таким образом, искомая функция распределения F(x) имеет вид
Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал (1;2) воспользуемся свойством 2 для f(x):
.