Лекция 6
Случайные величины и их описание. Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины.
4. Случайные величины и их описание
4.1. Понятие случайной величины
Понятие случайной величины является одним из центральных понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате испытания то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее не известное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. Случайная величина характеризует все возможные результаты случайного эксперимента с количественной стороны, однако, нельзя достоверно предсказать, какое именно значение при этом она примет.
Другими словами, случайная величина – это функция f(), определенная на множестве элементарных событий . Случайные величины обозначают обычно большими латинскими буквами: X, Y, Z или малыми греческими буквами: , , , а их возможные значения – малыми латинскими буквами x, y, z.
Например, при бросании игральной кости могут появиться числа: 1,2,3,4,5,6. Заранее определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, учесть которые полностью невозможно. В этом смысле, число очков есть величина случайная, а числа 1,2,3,4,5,6 есть возможные значения этой величины.
Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть величина случайная. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (a,b).
Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.
Под дискретной случайной величиной (ДСВ) понимается такая величина, множество возможных значений которой есть конечное или бесконечно, но счетное, множество. Примерами ДСВ с конечным числом значений могут служить число солнечных дней в году; число пассажиров, перевезенных автобусом в течение рабочего дня и т.д. Число значений ДСВ может быть и бесконечным, но счетным, множеством, т.е. в этом случае можно установить взаимнооднозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами. Например, пусть стрельба ведется до первого попадания. Тогда число произведенных выстрелов будет случайной величиной. Она может принимать значения: 1,2,3 и т.д. до бесконечности.
Под непрерывной случайной величиной (НСВ) понимается такая величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечно интервала. Очевидно, что число возможных значений НСВ бесконечно. Примерами НСВ могут служить количество осадков, выпавших за сутки; погрешность результатов измерений какого-либо параметра изделия и т.д.
Для того чтобы описать случайную величину, необходимо, прежде всего, описать те значения, которые она может принимать. Однако перечисление возможных значений случайной величины еще недостаточно. Для задания случайной величины нужно еще знать, как часто случайная величина принимает те или иные возможные значения, т.е. вероятности событий, заключающихся в том, что случайная величина приняла то или иное значение.
Разнообразие случайных величин весьма велико. Множество возможных значений может быть конечным или бесконечным, дискретным или непрерывным. Для описания столь разнообразных случайных величин с единых позиций в теории вероятностей вводится понятие функции распределения.