5.2. Дисперсия

В большинстве случаев математическое ожидание еще не достаточно характеризует случайную величину. На практике встречаются случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, однако принимающие резко различающиеся значения. У одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, а для других, наоборот, значительны, т.е. для одних рассеивание значений случайной величины вокруг математического ожидания мало, а для других оно велико.

Например, пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X	–0,1	–0,01	0	0,01	0,1		Y	–20	–10	0	10	20
P	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1		P	0,3	0,1	0,2	0,1	0,3

Математические ожидания этих случайных величин одинаковы и равны нулю. Однако характер их распределения их различный. Случайная величина X принимает значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y – значения, значительно отличаются от математического ожидания.

Приведенные рассуждения и пример свидетельствую о целесообразности введения такой характеристики случайной величины, которая оценивала бы меру рассеивания значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, тем более что на практике часто приходится оценивать такое рассеивание. Например, артиллеристам необходимо знать как кучно лягут снаряды вблизи цели, по которой ведется стрельба.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не дает, т.к. среднее значение отклонение для любой случайной величины равно нулю. Это объясняется тем, что возможные значения X–M[X] могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки.

Избежать изменения знаков отклонений x_i– M[X] можно, если заменить их абсолютными значениями или возвести в квадрат. Замена отклонений их абсолютными величинами нецелесообразно, т.к. действия с абсолютными величинами, как правило, вызывают затруднения. Поэтому следует использовать величину (X–M[X])² (точнее, ее среднее значение) для характеристики рассеивания значений случайной величины.

Определение. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

. (5.4)

Законы распределения вероятностей случайной величины X и (X–M[X])² одинаковы. Пусть M[X]m, тогда дисперсия ДСВ будет иметь вид

, (5.5)

дисперсия НСВ

дисперсия . (5.6)

Из определения следует, что дисперсия случайной величины есть величина не случайная (постоянная). Тогда формулу для дисперсии можно преобразовать следующим образом

Таким образом,

. (5.7)

Это есть основная формула для вычисления дисперсии.

Случайная величина и ее математическое ожидание имеют одну и ту же размерность, но дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. недостатка можно избежать если воспользоваться величиной, равной квадратному корню из дисперсии:

. (5.8)

Эта случайная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величиной.

Пример 5.4. ДСВ X задана следующим законом распределения:

X	2	3	4
P	0,3	0,4	0,3

Найти дисперсию D[X] двумя способами и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Способ 1.

Способ 2.

Среднее квадратичное отклонение

Пример 5.5. НСВ X задана следующей плотностью распределения:

Найти дисперсию D[X] двумя способами и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Способ 1.

Способ 2.

,

Среднее квадратичное отклонение

Отметим некоторые свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равно нулю:

D[C] = 0.

Действительно, т.к. M[С]=C, то D[C]=M[С–M(С)]²=M[С–С]²=M[0]=0. Это свойство очевидно, т.к. постоянная величина принимает только одно значение, следовательно, рассеяние рассеяния вокруг математического ожидания нет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D[CX] = C² D[X].

Действительно, т.к. постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин:

D[X+Y] = D[X]+ D[Y].

Действительно, учитывая свойства математического ожидания, получим

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий:

D[X–Y] = D[X] + D[Y].

Действительно, в силу свойства 3 D[X–Y] = D[X] + D[–Y]. В соответствие со свойством 2, получим

Ранее было введено понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Эту случайную величину

X–M[X]

Иногда называют центрированной случайной величиной. Выше было показано (свойство 5), что математическое ожидание случайной величины равно нулю. Найдем дисперсию центрированной случайной величины. На основании свойств дисперсии, получим

Таким образом, дисперсия случайной величины X и центрированной случайной величины X–M[X] равны между собой.

Иногда бывает удобно использовать безразмерные центрированные случайные величины. Разделим величину X–M[X] на среднее квадратичное отклонениеsимеющее ту же размерность. Вновь полученную случайную величину называютстандартной случайной величиной:

. (5.9)

Стандартная случайная величина обладает следующими свойствами: 1) M[Z]=0, 2) D[X]=1.