Задачи.

1.20⁰. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.

1.21. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находится в его начале?

1.22. Четыре мальчика и четыре девочки рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на четные места, а девочки – на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?

1.23. Сколькими способами можно посадить за круглый стол трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

1.24. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите эту же задачу, если Б должен выступить сразу после А.

Ответ: 60; 24.

5

Сочетаниями из n элементов по k называется любое подмножество из k элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов.

Отметим, что в отличие от размещений, в сочетаниях порядок выбора элементов уже не важен. Если при выборе запрещены повторения, то число возможных сочетаний вычисляется по формуле

. (1.4)

Заметим, что

Пример 1.5. Сколькими различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?

Решение. Различных пар из данных чисел, в которых первый элемент меньше второго, будет, очевидно, столько, сколько можно составить сочетаний из 7 по 2:

.

Задачи.

1.25⁰. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой присутствуют 15 человек?

1.26⁰. У одного есть 11 книг по математике, а другого – 15 книг. Сколькими способами они могут выбрать по 3 книги для обмена?

1.27⁰. Сколько прямых провести через 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

1.28⁰. Найти число диагоналей n-угольника.

1.29⁰. Сколькими способами можно 5 одинаковых предметов распределить между тремя лицами?

1.30⁰. Компания из 15 человек разделяется на две группы, одна из которых состоит из 6 человек, а другая – из 9 человек. Сколькими способами это можно сделать?

1.31⁰. В пространстве даны 7 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти точки?

1.32. В урне 6 белых и 8 черных шаров. Из нее одновременно вынимают три шара одного цвета. Сколькими способами это можно сделать?

1.33. В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую – 5 химиков, а третья должна состоять из 3 человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно создать такие группы?

Ответ:

6*

Отметим некоторые свойства сочетаний:

1⁰. (свойство симметрии).

Например,

2⁰. (свойство Паскаля).

Данное равенство является рекуррентным соотношением для числа сочетаний. С помощью этого равенства можно составить таблицу для нахождения числа сочетаний. Расположим сочетания в виде треугольной таблицы

П олученную треугольную таблицу принято называть треугольником Паскаля.

3⁰. .

Данное свойство является следствием формулы бинома Ньютона:

. (1.5)

Поэтому сочетания еще иногда называют биномиальными коэффициентами.

Пример 1.6. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?

Решение. Для звукосочетания клавиши нажимаются одновременно, поэтому для k звуков имеем звукосочетаний. Таким образом, искомое количество есть

.

Пример 1.7. Найти разложение степени бинома (2x–3)⁵?

Решение. Полагая a=2x, b=–3, получим

Пример 1.8. Пятый член разложение не зависит от x. Найти n.

Решение. Пятый член разложения T₅ имеет следующий вид:

.

По условию T₅ не зависит от x; это означает, что показатель степени при x равен нулю, т.е. (n–4)/3–4=0. Из последнего уравнения находим n=16.

Задачи.

1.34. Имеется 12 различных цветов. Сколькими способами можно составить букет из данных цветов, если в букет должно входить не менее 3 цветов?

1.35⁰. Напишите разложение степени бинома

а) ; б) ; в) ; г) .

1.36⁰. Найдите: а) биномиальный коэффициент среднего члена разложение (a+b)²⁰; б) четвертый член разложения (8x–5y)⁶.

1.37. Сумма биномиальных коэффициентов разложения равна 64. Напишите член, не содержащий переменную x.

1.38. Сумма третьего от начала и третьего от конца биномиальных коэффициентов разложения равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложении?

7

Общее число сочетаний с повторениями определяется по формуле

(1.6)

Пример 1.9. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,

, .

В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:

.

Общее число размещениями с повторениями определяется формулой:

(1.7)

Пример 1.10. Сколькими способами можно 5 шариков разбросать по 8 лункам, если каждая лунка может вместить все 5 шариков?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа размещений с повторениями

.

Число перестановок из n различных элементов с повторениями, которые можно сделать из k₁ элементов первого типа, k₂ элементов второго типа, … , k_n элементов n-го типа, находится по формуле

(1.8)

Пример 1.11. У мамы было 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Задачи.

1.39. Сколькими способами можно распределить 5 одинаковых предметов между тремя лицами?

1.40. Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по 3 ящикам?

1.41*. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

1.42. Решите уравнения:

а) б) в)

Ответ: а) 4; б) 5; в) 9.