Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Занятие 1.doc
Скачиваний:
33
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
279.55 Кб
Скачать

10

Занятие 1 комбинаторика

Цель занятия: Разбор основных принципов комбинаторики, а также основных комбинаторных формул.

План занятия: 1. Разобрать принцип умножения. Решение комбинаторных задач этим принципом.

2. Разобрать принцип сложения. Решение комбинаторных задач, где используется этот принцип.

3. Разобрать формулу для размещений. Решение задач на использование размещений. Обратить внимание на то, что использовании размещений важно учитывать порядок при составлении подмножеств.

4. Разобрать формулу для перестановок. Решение задач на использование перестановок.

5. Разобрать формулу для сочетаний. Решение задач на использование сочетаний. Обратить внимание на то, что использовании сочетаний порядок при составлении подмножеств порядок уже не учитывается.

6*. Разобрать свойства сочетаний. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

7. Разобрать формулы для комбинаций, допускающих повторения: сочетания с повторениями, размещения с повторениями, перестановки с повторениями. Решение задач на использование комбинаций с повторениями.

1

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с каким-либо правилом. Каждое правило в комбинаторике определяет способ построения некоторой конструкции, составленной из элементов исходного множества и называемой комбинацией. Основная цель комбинаторики состоит в подсчете количества комбинаций, которые можно составить из элементов исходного множества в соответствии с заданным правилом.

Принцип умножения. Если элемент А можно выбрать из некоторого множества m способами и если после каждого такого выбора элемент B можно выбрать n способами, то пара элементов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана (mn) способами.

Пример 1.1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4 и 5, если: а) цифры не повторяются; б) повторение допустимо; в) числа должны быть нечетные и без повторения.

Решение. а) Первую цифру можно выбирать 5-ю способами. Так как в числе цифры не повторяются, то вторую цифру уже можно выбрать из четырех оставшихся 4-мя способами. Далее получаем, что третью цифру можно выбрать 3-мя способами и четвертую – двумя. Таким образом, число возможных четырехзначных чисел равно N=5432=120.

б) Так как повторения допустимы, то каждую цифру можно выбирать каждый раз из 5 имеющихся цифр, т.е. пятью способами. Тогда число возможных чисел равно N=5555=54=625.

в) У нечетного числа последняя цифра нечетная, т.е. в данном случае может быть либо 1, либо 3, либо 5. Поэтому на это место можно поставить любую из этих трех чисел. После этого на оставшиеся места можно поставить: четыре цифры, три цифры и две цифры, ибо никакие из пяти цифр нельзя использовать более одного раза. Таким образом, N=3432=72.

Задачи.

1.10. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

1.20. При составлении одного варианта письменной контрольной работы по математике преподаватель располагает 4 задачами по геометрии, 8 – по алгебре и 3 – по тригонометрии. Сколькими способами можно составить этот вариант, если в него должно войти по одной задаче из перечисленных разделов?

1.30. Из двух полуфинальных групп, каждая их которых содержит по 6 команд, в финал выходит по одной команде. Сколько может быть различных вариантов участников финального матча?

1.40. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места в результате забега?

1.50. В книге из 20 страниц на каких-либо трех страницах надо поместить по одно иллюстрации. Сколькими способами это можно сделать?

1.6. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?

1.7. Имеется 9 белых, 12 красных и 11 синих шаров. Скольким способами можно разложить эти шары по двум урнам так, чтобы каждая урна содержала не менее четырех шаров каждого цвета?

2

Принцип сложения. Если элемент A можно выбрать из некоторого множества m способами, а другой элемент Bn способами, причем выборы А и В таковы, что взаимно исключают друг друга и не могут быть выбраны одновременно, то выбор какого-либо одного из этих элементов (либо А, либо В) можно осуществить (m+n) способами.

Пример 1.2. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая: а) все письма рассылаются по разным адресам, б) все письма посылаются по одному адресу, в) только два письма посылаются по одному адресу. Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1=654=120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2=6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=365=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно

n1+n2+n3 = 120+6+90 = 216 способами.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]