Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Занятие 16.doc
Скачиваний:
159
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
189.44 Кб
Скачать

10

Занятие 16 закон больших чисел

Цель занятия: Разбор закона больших чисел, а также знакомство с центральной предельной теоремой.

План занятия: 1. Решение задач на применение неравенства Маркова.

2. Решение задач на применение неравенства Чебышева.

3. Разобрать содержание закона больших чисел (ЗБЧ) и возможные его формулировки. Разобрать теорему Чебышева и условия ее применимости. Решения задач на применение теоремы Чебышева.

4. Решение задач на применение теорем Бернулли и Пуассона.

5*. Разобрать содержание центральной предельной теоремы (ЦПТ) и возможные ее формулировки. Решение задач на применение теоремы Ляпунова и Леви-Линдеберга. Разобрать взаимосвязь ЦПТ и теорем Муавра-Лапласа.

1

Неравенство Маркова. Для любой случайной величины X, имеющей конечное абсолютное математическое ожидание и конечную дисперсию, при любом >0 имеет место неравенство:

(1)

Если X>0, то неравенство (1) можно записать в виде

(2)

Следствие. Для любой случайной величины X, имеющей конечное число абсолютное математическое ожидание и конечную дисперсию, при любой >0 имеет место неравенство:

(3)

Пример 1. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 360 г?

Решение. Искомую вероятность оценим при помощи неравенства Маркова (1), которое запишем в виде

(4)

Случайную величину – вес клубня – обозначим через X. По условию M[X]=120, =360. Тогда

Пример 2. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений шести очков будет не меньше 900.

Решение. Пусть X – число появлений шести очков при n=3600 подбрасываниях, тогда M[X]=np=. Следовательно

Пример 3. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 2000000 руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 руб., равна 0,8. Сделайте оценку числа вкладчиков данного банка.

Решение. Пусть X – величина случайно взятого вклада, а n – число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что M[X]=. Так как и по неравенству (2) получаем

Задачи.

10. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет.

Отв.: P0,8

20. Дана случайная величина X:

xi

2

4

6

8

10

12

pi

0,1

0,3

0,25

0,15

0,15

0,05

Какова вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее 11? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Маркова.

Отв.: 0,95, P0,435

3. Приняв вероятность попадания в цель при выстреле равной 0,4, оценить вероятность того, что при 120 выстрелах окажется не более 80 попаданий. Найти приближенное значение этой вероятности, пользуясь интегральной теоремой Муавра-Лапласа.

Отв.: P0,4

4. Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 120000 л день.

Отв.: P0,583

5. Неотрицательные случайные величины X и Y независимы. Оценить вероятность неравенств: а) X+Y<40; б) XY<200, если M[X]=5, M[Y]=4.

Отв.: а) P0,755; б) P0,9

6. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов, если: а) отсутствует информация о дисперсии; б) известно, что дисперсия равна 4; в) предполагается, что число автобусов, отправляемых после месяца эксплуатации, подчиняется закону распределения Пуассона с параметром =5.

Отв.: а) 0,666; б) 0,871; в) 0,9998.

7*. Пусть (x) – монотонно возрастающая функция, причем существует M[(x)], где X – некоторая неотрицательная случайная величина. Используя неравенство Маркова, показать, что для всех >0

.

8*. Показать, что если для некоторой случайной величины X существует , где b>0, то

.

2

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины X, имеющей конечное математическое ожидание m и дисперсию, при любом >0 справедливо неравенство:

. (5)

Неравенство Чебышева для среднего арифметического независимых случайных величин имеет вид

, (6)

где

, .

Если дисперсии случайных величин равномерно ограничены: D[Xn]<C, то неравенство (6) можно записать в виде

, (7)

Пример 4. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время T равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время T окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение. а) Обозначим через X дискретную величину – число отказавших элементов за время T. Тогда

m=M[X] = np = 100,05 = 0,5; D[X] = npq = 100,050,95 = 0,475.

Неравенство Чебышева (5) дает оценку снизу искомой вероятности:

.

б) Поскольку события |X–0,5|<2 и |X–0,5|2 противоположны, то

.

Пример 5. Распределение случайной величины X дается следующей таблицей:

X

1

2

3

4

5

6

P

0,05

0,10

0,25

0,30

0,20

0,10

Чему равна вероятность того, что |X–M[X]|<2? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышева.

Решение. Сначала находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины X:

M[X] = 10,05+20,10+30,25+40,30+50,20+60,10 = 3,80,

M[X2] = 120,05+220,10+320,25+420,30+520,20+620,10 = 16,10,

D[X] = M[X2]–M[X]2 = 16,10–3,802 = 1,66.

Чтобы найти P(|X–M[X]|<2), надо знать те значения X, которые удовлетворяют неравенству |X–M[X]|<2  |X–3,8|<2  1,8<X<5,8. Этим неравенствам удовлетворяют только такие значения X: 2, 3, 4 и 5. Отсюда

P(|X–3,8|<2) = P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = 0,10+0,25+0,30+0,20 = 0,85.

Пользуясь неравенством Чебышева получить оценку данной вероятности снизу:

.

Пример 6. Для определения средней продолжительности горения электролампы в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по модулю меньше чем на 5 ч, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике не больше 7 ч.

Решение. Пусть Xi – продолжительность горения электролампы, взятой из i-го ящика. В задаче дано, что D[Xi]<72=49. Используя неравенство (7), в котором C=49, =5, n=200, получим

.

Пример 7. Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой физической величины, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,98, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по модулю не больше чем на 0,01, если дисперсия отдельного результата измерения не превосходят 1?

Решение. Пусть Xi – результат i-го измерения. Из условия задачи следует, что D[Xi]<1. Поэтому

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]