Задание 5

5.1 Напишите формулу ряда Котельникова и поясните смысл теоремы Котельникова.

5.2 По заданным на рисунке 5.1 и в таблице 5.1 параметрам непрерывного сигнала u(t) определите:

- интервал дискретизации ∆t и частоту дискретизации f_Д;

- число уровней квантования L;

- квантованные значения дискретных отсчетов непрерывного сигнала U_КВ(t) для десяти отсчетов ∆t по оси времени;

- величину ошибки квантования ε (t);

- число разрядов n в кодовой комбинации;

- кодовые комбинации уровней квантования дискретных отсчетов.

Рисунок 5.1 – Временная диаграмма непрерывного сигнала

Таблица 5.1 – Исходные данные

Вариант	Спектр сигнала Fmin – Fmax, кГц	Шаг квантования u, мВ
15	0,03 … 18,0	5

5.3 Все полученные результаты сведите в таблицу 5.2 и постройте графики, поясняющие этапы решения задачи.

Таблица 5.2 – Результаты расчетов

Номер отсчета	Шаг квантования u =
	U(t)АИМ, мВ	UКВ(t), мВ	(t), мВ	Номер уровня квантования N	Двоичный код
1
2
3
4
…
10

Решение.

1. Для функций с ограниченным спектром В.А. Котельников доказал теорему, которая является теоретической основой построения дискретных систем связи. Ее содержание следующее.

Любая функция времени u(t) с ограниченным спектром полностью определяется своими значениями, отсчитанными в дискретные моменты времени через интервал ∆t = 1/2F_B, где F_B — верхняя граничная частота спектра этой функции.

Ряд, определяющий функцию:

н азывается рядом Котельникова и является разновидностью ряда Фурье. Он построен на базе ортонормированных функций:

где k - целые числа в пределах от -∞ до +∞.

Теорема Котельникова утверждает, что если требуется передать непрерывный сигнал u(t) с ограниченным спектром по каналу связи, то можно не передавать все его значения: достаточно передать мгновенные значения (отсчеты) через интервал ∆t. Поскольку сигнал u(t) полностью определяется этими значениями, по ним он может быть восстановлен на приемном конце системы связи. Для этого достаточно соединить отсчеты плавной кривой. Это объясняется тем, что сигнал u(t) между отсчетами может изменяться только плавно, так как частоты выше F_B, дающие быстрые (скачкообразные или колебательные) изменения, в сигнале отсутствуют. Ведь отсчеты берутся достаточно часто, и тем чаще, чем выше максимальная частота F_B.

2. Вычислим интервал дискретизации (согласно теореме Котельникова):

Тогда частота дискретизации равна:

Согласно рисунка 5.1 принимаем число уровней квантования L=13.

Поскольку 2⁴=16>13, 2³=8<13, необходимое число разрядов кодовой комбинации n=4.

По графику определяем для десяти отсчетов ∆t по оси времени 0, ∆t, 2∆t, 3∆t, …, 10∆t значения непрерывного сигнала U(t), квантованные значения U_КВ(t) величину ошибки квантования ε (t) = U(t) - U_КВ(t), номер уровня квантования N и двоичный код, соответствующий этому уровню.

Результаты расчетов для десяти отсчётов сведём в таблицу 1. Ход решения поясним с помощью рисунков 1-3.

Таблица 1.

Номер отсчета	Шаг квантования u = 5 мВ
	U(t), мВ	UКВ(t), мВ	(t), мВ	Номер уровня квантования N	Двоичный код
0	18	20	-2	4	0100
1	29.5	30	-0.5	6	0110
2	12	10	2	2	0010
3	5	5	0	1	0001
4	17	15	2	3	0011
5	41	40	1	8	1000
6	45	45	0	9	1001
7	33	35	-2	7	0111
8	61	60	1	12	1100
9	54	55	-1	11	1011
10	48	50	-2	10	1010

Рисунок 1 – Временная диаграмма непрерывного сигнала.

Рисунок 2 – Временная диаграмма квантованных уровней сигнала.

Рисунок 3 – Временная диаграмма ошибок квантования.