Задание 2

2.1 Перечислите существующие способы представления сигналов. Укажите достоинства и недостатки каждого способа.

2.2 Решите задачу согласно варианту (см. таблицу 2.1).

Вариант	Условие задачи
15	Составьте математическую модель и постройте спектральную диаграмму амплитуд сигнала, временная диаграмма которого приведена на рисунке:

Решение.

1. Основные способы представления сигналов: математическая модель, векторная и временные диаграммы.

Математическая модель - это его математическое описание, т.е. получение относительно простого математического выражения (формулы, уравнения, неравенства и др.), по которому можно вычислить свойства и параметры сигнала (мгновенные значения, числовые характеристики и др.). Достоинства: удобство при теоретических расчетах. Недостатки: трудность подбора при сложной форме сигнала.

Временная диаграмма сигнала - это кривая мгновенных значений сигнала, выполненная в зависимости от времени (графическое представление формы сигнала). Достоинства: временная форма представления сигнала позволяет определить такие важные характеристики, как его энергия, мощность и длительность. 

Векторная диаграмма - это изображение токов и напряжений на координатной плоскости через векторы, сопоставленные гармоническим колебаниям.

Векторы, представляющие на координатной плоскости гармонические колебания разных частот, будут вращаться против хода часов вокруг начала координат с разными угловыми скоростями. Их модули определяются амплитудами колебаний, а углы наклона в момент начала отсчета – значениями начальных фаз. Проекции векторов на ось абсцисс будут представлять собой косинусоидальные колебания, на ось ординат – синусоидальные. Они укажут, как будут изменяться во времени мгновенные значения токов и напряжений.

Достоинства векторной диаграммы: наглядность интерпретации спектрального разложения. Недостатки: неудобство при представлении поведения во времени напряжения или тока.

2. Заданный сигнал представляет собой гармоническое колебание с постоянной составляющей. Математическая модель сигнала:

U_m(t) = U₀ + U₁sin(ωt+φ).

По временной диаграмме определяем U₀ = 0.1N = 1.5 B.

Период сигнала T = 40 мкс. Следовательно, круговая частота:

ω = 2π/T = 2π/(40·10^-6) = 157079.6 c^-1 .

Частота колебаний:

f = 1/T = 1/(40·10^-6) = 25000 Гц = 25 кГц.

Амплитуда гармонической составляющей сигнала U₁ = 0.3N = 4.5 B.

Поскольку U_m(t) = U₀, φ=0.

Таким образом, математическая модель сигнала имеет вид:

U_m(t) = 1.5 + 4.5sin(157079.6 t).

Спектральная диаграмма амплитуд сигнала показана на рисунке 1.

Рисунок 1 - Спектральная диаграмма.

Задание 3

3.1 Нарисуйте временную диаграмму периодической последовательности прямоугольных импульсов с заданными в таблице 3.1 параметрами. Рассчитайте и постройте спектр амплитуд этого сигнала.

3.2 Назовите особенности спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и рассчитайте ширину спектра сигнала для условия п. 3.1.

Таблица 3.1 − Исходные данные.

Вариант	Период следования импульсов Т, мкс	Длительность импульса tи , мкс	Амплитуда импульса Аm, В
15	33	11	10

Решение.

1. Временная диаграмма периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ) с заданными в таблице 3.1 параметрами показана на рисунке 1.

Рисунок 1 - Временная диаграмма ПППИ.

Последовательно находим все необходимые значения для построения спектра амплитуд этого сигнала.

По условию задачи период следования импульсов T=33 мкс, длительность импульса t_и=11 мкс.

Частота первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:

f_c = 1/T = 1/(33·10^-6) = 30303 Гц = 30.3 кГц.

Скважность сигнала: q = T/ t_и = 33/11 = 3.

Значение постоянной составляющей : U_m0 = A_m/q = 10/3 = 3.33 B.

Амплитуды гармонических составляющих спектра находим по формуле:

Вычисляем:

2. Особенности спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов:

- все гармонические составляющие находятся на частотах, кратных частоте первой гармоники;

- спектр ПППИ имеет лепестковый характер, т. е. в спектре можно выделить множество «лепестков»;

- количество гармонических составляющих в лепестке зависит от скважности и равно q-1;

- амплитуды гармонических составляющих, находящихся на частотах, кратных скважности, равны нулю;

- форма спектра обозначается огибающей - пунктирной линией, плавно соединяющей вершины гармонических составляющих;

- точка, из которой исходит огибающая, равна 2U_m0. 

За ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два первых лепестка, т. к. в них содержится около 95% энергии сигнала:

f_c = f_c ·2q = 2/ t_и = 2/(11·10^-6) =181818.18 Гц = 181.8 кГц.