2. Адиабатный процесс. Формула Пуассона.

Адиабатным называют процесс, в котором отсутствует обмен энергией в форме теплоты (теплообмен) между системой и внешней средой. Адиабатный процесс подчиняется условию: dQ=0.

Практически адиабатный процесс осуществляется при достаточно быстром расширении или сжатии газа. Условие адиабатности будет выполнено, если процесс протекает так быстро, что теплообмен между газом и внешней средой не успевает произойти.

Из первого начала термодинамики (1), следует, что в адиабатическом процессе

dА= - dU, (17)

т.е. работа совершается системой за счет убыли ее внутренней энергии.

Из (8) следует, что в адиабатном процессе

, (18)

из (17) и (18) видно, что при адиабатном расширении dV>0, dА=pdV>0 , тогда dT<0 , т.е. газ, охлаждается, а при адиабатном сжатии dV<0, dА=pdV<0 и dT>0, т.е. газ нагревается.

Найдем уравнение адиабаты для идеального газа, т.е. уравнение, связывающее параметры состояния идеального газа, например, р и V при адиабатном процессе. Для этого перепишем уравнение (17) в форме:

,

а величину найдем из уравнения состояния газа (10) путем

дифференцирования этого уравнения по всем переменным:

.

Таким образом, , или, учитывая уравнение Майера (14), получим:

Разделив обе части этого уравнения на получим:

где: - безразмерная величина, называемаяпоказателем адиабаты. Пренебрегая зависимостью C_v от температуры, можно считать, что для данного газа g=const .

Так как и,

то написанное выше уравнение можно представить в виде:

, или откуда следует, что

pV^g = const (19)

Уравнение (19) называют формулой Пуассона.

В адиабатном процессе изменяются все параметры состояния: объем, давление и температура.

Соотношение между давлением и температурой, а также между объемом и температурой идеального газа в адиабатном процессе легко получить из (19) и уравнения Менделеева- Клапейрона (10):

;

Линию, изображающую адиабатный процесс на диаграмме состояния, называют адиабатой. На рис. 3 сплошной линией показан вид адиабаты. Для сравнения на том же рисунке пунктирной линией изображена изотерма, соответствующая температуре газа в состоянии 1. Так как для любого идеального газа показатель адиабаты g>1, то на диаграмме адиабата идет круче, чем изотерма. Объясняется это тем, что при адиабатном сжатии (процесс 1-3) увеличение давления обусловлено не только уменьшением объема газа, как при изотермическом сжатии, но также еще и увеличением температуры.

При адиабатном расширении температура газа уменьшается, поэтому давление газа падает быстрее, чем при изотермическом расширении (процесс 1-2).

Описание установки и принципа измерений.

Определение отношения С_p/С_v для воздуха основано на осуществлении адиабатного расширения и использовании для этого процесса формулы Пуассона (19) pV^g = const: где g = С_р/C_v.

Экспериментальная установка для определения g методом Клемана-Дезорма состоит из стеклянного баллона А (рис. 4), который соединяется, с одной стороны, с U-образным манометром М, с другой стороны, посредством трехходового крана К - либо с атмосферой, либо с насосом. Манометр М, наполненный какой-либо жидкостью (керосином, подкрашенной водой и т.д.), позволяет по разнице уровней h жидкостей в левом и правом коленах измерить в баллоне давление р, избыточное над атмосферным: р=rg h , где r - плотность жидкости (чем меньше r, тем заметнее разность уровней h ). Баллон А обшит темным материалом для уменьшения теплообмена с окружающей средой путем излучения.

Для осуществления адиабатного расширения предварительно в баллон А накачивают воздух, для чего трехходовой кран К соединяют с насосом и после накачивания кран К перекрывают. Манометр М в момент закрытия крана показывает некоторую разницу уровней жидкости, которая в течение нескольких последующих минут изменяется. Это объясняется тем, что процесс нагнетания воздуха подобен адиабатному сжатию, вследствие чего воздух в баллоне нагревается, а затем после закрытия крана, он постепенно изохорически охлаждается от окружающей среды до комнатной температуры. В результате давление в баллоне, превосходящее атмосферное, начинает уменьшаться, поэтому изменяется и разность уровней жидкости в манометре. Когда температура в баллоне сравняется с комнатной, разность уровней в манометре остается постоянной, равной величине Н, а давление в баллоне станет равным р_атм + r g H.

Затем осуществляется адиабатное расширение воздуха, для чего краном К соединяют баллон с атмосферой на очень короткое время, при этом уровни жидкости в манометре моментально сравниваются. Предварительно сжатый воздух быстро выходит из баллона, т.е. резко адиабатно расширяется и поэтому охлаждается, а затем медленно (в течение 2-3 минут) воздух в баллоне изохорически нагревается, вследствие чего давление в нем увеличивается и разность уровней жидкостей в манометре снова начинает изменяться до тех пор, пока воздух в баллоне не нагреется до, комнатной температуры. Тогда манометр покажет разницу уровней h, давление, избыточное над атмосферным, будет равно r g h, а давление в баллоне будет р_атм + r g h.

Докажем, что величину g = С_р/C_v , легко вычислить по измеренным величинам Н и h.

Представим графически процессы, происходящие с воздухом в баллоне (рис. 5). Построение графика начнем с того момента времени, когда предварительно накачанный в баллон воздух охладился до комнатной температуры Т₁ (состояние 1 на рис. 5), а давление р₁ стало равным

р_атм + r g H = р₀ + r g H.

Из состояния 1 (р₁, V₁, T₁) воздух, адиабатно расширяясь, переходит в состояние 2, при этом давление сравнивается с атмосферным р₀, а температура понижается и становится равной Т₂Т₁.

Затем, при закрытом кране, т.е. при неизменном объеме воздух в баллоне изохорически нагревается (процесс 2-3) до комнатной Т₁ температуры, а давление при этом становится равным р₂ = р₀ + r g h.

Следует заметить, что в процессе 1-2 воздух выходит из баллона, поэтому масса воздуха в баллоне изменяется. Чтобы в дальнейшем иметь возможность воспользоваться газовыми законами, справедливыми для постоянной массы газа, будем состояние 1 относить к объему V₁ ТОлько той части массы газа в баллоне объемом V₂ , которая после расширения до состояния 2 примет значение, равное объему баллона V₂ , т.е. V₁ < V₂.

Точки 1 и 3, имеющие одинаковую температуру Т₁, теоретически расположены на изотерме, поэтому по закону Бойля-Мариотта можно записать:

р₁V₁ = р₂V₂ , (20)

Точки 1 и 2 лежат на адиабате, следовательно по формуле Пуассона (19) параметры этих состояний связаны соотношением:

, (21)

Если уравнение (20) возвести в степень  и разделить на уравнение (21), то получим:

или , (22)

Логарифмируя (22), находим:

, (23)

Подставляя в (23) значение р₁ = р₀ +r g H и р₂ = р₀ + r g h получим:

. (24)

Так как давление r g H<< р₀ и r g h << р₀ то <<1 и<<1, поэтому воспользуемся разложением в ряд вида: . Если в этом разложении x<<1 , то можно пренебречь членами второго порядка, тогда ln(1+x) » x. Аналогично полученному можно написать, что и. Таким образом выражение (24) преобразуется к виду:

, (25)

Уточним в формуле (25) величину h . Осуществляя практически адиабатное расширение (процесс. 1-2 рис. 5), мы не можем закрыть кран точно в момент окончания этого процесса. Однако, если кран закрыть несколько позже окончания адиабатного процесса, то газ еще некоторое время будет продолжать расширяться при постоянном атмосферном давлении, т.е. изобарически (процесс 2-2¢ на рис. 5), и в опыте вместо значения h мы всегда будем получать значение h¢, соответствующее отрезку 2¢-3¢, причем h¢ тем сильнее будет отличаться от h , чем больше будет это время запаздывания. С учетом сказанного выше, формула (25) дает несколько заниженное значение величины .

Однако, величину h=h_ист, соответствующую моменту окончания адиабатного расширения, можно точнее определить следующим образом.

Опыт показывает, что величины h¢ и t связаны соотношением:

ln h¢ = ln h_ист - At, (26)

где А- константа, зависящая от параметров установки; t - время изобарического расширения (время открытия крана); h_ист - разность уровней жидкости в манометре в момент времени t =0, т.е. разность уровней, которую мы должны были бы получить, если бы смогли закрыть кран сразу после адиабатного расширения.

Величину h_ист легко определить, если зависимость ln h¢ от времени t (26) представить графически (рис. 6). Получив по экспериментальным данным прямую АВ, можно ее продолжить до пересечения с осью ординат и в т. С пересечения прямой с осью координат (т.е. в точке, соответствующей t=0) прочесть значение ln h_ист ,а затем определить величину h_ист. Подставив в (25) значение h_ист вместо h получим более точное значение :

(27)