Момент силы и момент импульса

Важные законы динамики вращательного движения связаны с понятием моментов (силы, или импульса) относительно точки и относительно оси. Моментом силы M_c относительно точки O называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r_c, проведенного из точки O в точку приложения силы C, на вектор силы F_c:

M_c = r_c F_c (9)

Вектор M_c направлен в соответствии с правилом векторного произведения векторов, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора r_c и F_c.

Силу, приложенную в точке C некоторого тела, закрепленного в точке O, можно всегда разложить на две составляющие: одна – направленная вдоль прямой OC, и другая – лежащая в плоскости, перпендикулярной этой прямой. Очевидно, что первая составляющая (назовем ее F_oc) не может вызвать поворот тела, тогда как вторая (F_c), в зависимости от ее направления, вызовет вращение тела вокруг точки O в соответствующем направлении. Модуль момента силы F_oc, определяемый как |M_oc| = | r_c |  |F_oc|  sin , равен нулю, поскольку вектор силы направлен вдоль радиус-вектора, и угол между ними , также как и синус этого угла, равны нулю. Вектор момента силы F_c перпендикулярен радиус-вектору ( = /2, sin  = 1) и составляет |M_c| = | r_c |  |F_c|. Направление вектора M_c момента силы F_c совпадает с направлением оси, вокруг которой будет вращаться тело под действием этой силы.

Если тело имеет возможность вращаться не во всех направлениях, а лишь вокруг одной (неподвижной) оси, то только одно направление действующей силы может способствовать этому вращению. Рассмотрим такую ситуацию на следующем примере. Пусть в точке С тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, приложена в произвольном направлении силаF. Разложим вектор силы F на три взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 2),

две из которых направлены в плоскости, проходящей через ось вращения и точку С, перпендикулярно F_ и параллельно F_ оси, а третья F_т (тангенциальная) – перпендикулярно этой плоскости, т.е. по касательной к окружности, по которой движется точка С. Силы F_ и F_ не влияют на вращение тела. Момент первой из них (M_ = r  F_) равен нулю, т.к. векторы r и F_ параллельны, а вектор момента второй силы (M_ = r  F_) направлен перпендикулярно оси вращения. Вектор момента тангенциальной силы (M_т = r  F_т) направлен вдоль оси вращения, и поэтому сила F_т вызывает вращение тела. Поскольку векторы r и F_т перпендикулярны, т.е. sin  = 1, то модуль M_т равен произведению модулей r и F_т .

Таким образом, если сила, приложенная в некоторой точке тела, вращающегося вокруг оси, действует в плоскости, перпендикулярной этой оси, и направлена перпендикулярно прямой, соединяющей точку приложения силы с осью вращения, то всегда справедливо скалярное соотношение

M = rF (10)

где F – численное значение силы и r – расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

Подобно моменту силы, момент импульса точечного тела L_c, находящегося в точке С, относительно точки О, определяется как векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r_c, проведенного из точки O в точку C, на вектор импульса тела p_c:

L_c = r_c p_c (11)

При вращении тела вокруг точки О его импульс направлен по касательной к траектории движения, и вектор момента импульса, как и вектор момента силы, направлен вдоль оси вращения. А поскольку векторы r_c и p_c взаимно перпендикулярны, то модуль L_c равен произведению модулей r_c и p_c , и всегда справедлива форма записи в скалярном виде:

L_c = r_c p_c = r_c m_c v_c = r_c² m_c _c (12)

где r_c – расстояние ОС, m_c – масса тела, а p_c , L_c , v_c и _c – соответственно модули векторов импульса, момента импульса, линейной скорости и угловой скорости.

Моментом импульса любой системы частиц, в частности, объемного твердого тела, относительно некоторой точки называется векторная сумма моментов импульсов всех частиц, входящих в систему:

L =  L_i (13)

Закон сохранения момента импульса в замкнутой системе формулируется следующим образом: суммарный момент импульса всех тел замкнутой системы остается постоянным.