Угловая скорость и угловое ускорение

При вращении точки по окружности за время t она проходит расстояние S, а ее радиус-вектор r поворачивается на угол  (рис. 1а). Предел отношения  к t при бесконечном уменьшении t есть модуль вектора мгновенной угловой скорости , которая определяется как первая производная угла поворота по времени:

 = lim_t0 (/t) = d/dt (1)

Если модуль вектора угловой скорости за время t изменяется на величину , то предел отношения  к t при бесконечном уменьшении t есть модуль вектора мгновенного углового ускорения , которое определяется как первая производная угловой скорости по времени, или вторая производная угла поворота по времени:

 = lim_t0 (/t) = d/dt = d²/dt² (2)

И угловое перемещение, и угловая скорость, и угловое ускорение одинаковы для всех точек вращающегося тела.

Вектор угловой скорости  и вектор углового ускорения , так же как и вектор поворота , является аксиальными векторами (псевдовекторами). Они направлены вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 1б, 1в).

Тангенциальное ускорение

Если рассматривать линейное перемещение S точки, движущейся по окружности, за время t, то предел отношения S к t при бесконечном уменьшении t есть модуль вектора мгновенной линейной скорости v, которая определяется как первая производная проходимого точкой расстояния по времени:

v = lim_t0 (S/t) = dS/dt (3)

а учитывая, что расстояние S, проходимое точкой по окружности, связано с ее угловым перемещением  и радиусом окружности r соотношением: S = r, и принимая во внимание (1), получаем связь между модулями векторов линейной и угловой скорости:

v = (d/dt)r = r (4)

Изменение модуля вектора линейной скорости во времени, как и в случае поступательного движения, характеризуется модулем вектора линейного ускорения a, которое в данном случае вращательного движения есть тангенциальное ускорение, определяемое как первая производная линейной скорости точки по времени, или вторая производная линейного перемещения по времени:

a = dv/dt = d²S/dt² (5)

Из уравнений (4) и (2) получаем связь между модулями векторов тангенциального (линейного) и углового ускорения:

a = (d²/dt²)r = (d/dt)r = r (6)

Вектор линейной скорости v и вектор тангенциального ускорения a направлены по касательной к окружности (см. рис. 1б и 1в) и определяются как результаты соответствующих векторных произведений:

v = r (7)

a = r (8)

где r – радиус-вектор точки окружности, проведенный из ее центра. При этом направление векторов v и a отвечает правилу векторного произведения векторов, т.е. последовательность векторов, представляющих первый сомножитель, второй сомножитель и результирующий вектор образует правовинтовую систему. Модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, умноженному на синус угла  между их направлениями. Поскольку векторы угловой скорости и углового ускорения перпендикулярны радиус-вектору r (и, следовательно, для векторных произведений (7) и (8) sin = 1), то всегда справедливы соотношения между скалярными величинами модулей скоростей (v = r) и ускорений (a = r), представленные уравнениями (4) и (6).