Крутильные колебания

Крутильные колебания – это вращательное движение тела, подвешенного на упругой нити (стальной проволоке), вокруг вертикальной оси, выражающееся в его попеременном отклонении в ту и другую сторону от положения равновесия. Силовая величина, характеризующая динамику такого движения, является следствием деформации нити. Деформация – это изменение формы и размеров тела под действием приложенных к нему сил. Если после прекращения действия силы тело принимает первоначальные размеры и форму, то деформация называется упругой. Существует несколько видов деформации тел: растяжение, сжатие,

5

кручение, сдвиг, изгиб. При этом внутри деформированного тела возникает противодействующая сила, равная по величине деформирующей силе и называемая упругой силой. Величина упругой силы F_упр., возникающей при малых деформациях любого вида, прямо пропорциональна величине деформации x, то есть изменению размеров тела, что в общем виде выражается соотношением:

F_упр.= – kх (10)

где k – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом упругости. Соотношение (10) называется законом Гука. Знак минус указывает на противоположные направления упругой силы и величины деформации.

При закручивании нити с подвешенным телом на некоторый угол φ (рис. 1) возникающее в нити противодействие представляет собой момент силы М, значение модуля которого пропорционально углу φ, а направление, как и при любой деформации, противоположно ей, т.е. углу закручивания:

М = –Dφ (11)

Здесь:D – модуль кручения (коэффициент упругости), характеризующий упругие свойства нити.

Для вращательного движения тела второй закон Ньютона записывается в виде:

М = Jε (12)

где J – момент инерции тела, ε = d²φ/dt² – угловое ускорение, М – суммарный момент сил, в данном случае представляющий собой момент упругой силы, которая возникает при закручивании упругой нити (проволоки) на угол φ. Подставляя в это уравнение выражение для момента упругой силы (11), мы получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее движение тела при крутильных колебаниях:

J (d²φ/dt²) + Dφ = 0 (13)

Решение этого уравнения имеет вид:

φ = φ₀sin(ωt + φ^o) (14)

где φ – угол поворота тела в момент времени t, φ₀ – максимальный угол поворота тела при колебаниях (амплитуда колебаний), φ^o – начальная фаза колебаний, а коэффициент при t, составляющий ω = (D/J)^1/2, – циклическая (или круговая) частота колебаний. Поскольку, с другой стороны,

6

циклическая частота колебаний, по определению, равна 2π/T (T – период колебаний), то можно записать равенство:

ω = (D/J)^1/2 = 2π/T (15)

откуда следует уравнение, связывающее период крутильных колебаний с моментом инерции тела, подвешенного на упругой нити, и модулем кручения нити:

T = 2π(J/D)^1/2 (16)

Описание установки и метода измерений:

Для определения моментов инерции твердых тел в работе используется установка, показанная на рис. 2.

На основании 1 расположен электронный блок 2 с миллисекундомером и счетчиком полных колебаний, а также укреплена колонка 3, на которой находятся три кронштейна 4, 5, 6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы для подвеса рамки на упругих стальных нитях 7. Рамка представляет собой две балки 8, соединенных стержнями 9. На стержнях с помощью цанговых зажимов 10 закрепляется в нужном положении подвижная балка 11,

7

которая позволяет (путем закручивания винта 12) укреплять в рамке исследуемые тела 13, значительно отличающиеся по внешним размерам. На стальной плите, прикрепленной к кронштейну 5, располагаются соединенные с электронный блоком электромагнит 14 и фотоэлектрический датчик 15, а также угловая шкала (на рисунке не показана), которая служит для задания амплитудного значения угла закручивания.

Работа на установке проводится в следующем порядке:

1. Закрепить электромагнит в положении, которое соответствует определенному углу закручивания рамки (задается преподавателем).

2. Если требуется заданием, укрепить в рамке исследуемое тело. Для этого:

а) ослабить зажимы 10;

б) передвигая подвижную балку 11, зажать тело между коническим выступом нижней балки и конусом винта 12, затянуть зажимы 10;

в) окончательно укрепить тело, закручивая винт 12.

3. Включить питающее напряжение нажатием клавиши "Сеть". При этом должны светиться лампочки фотоэлектрического датчика и индикатора секундомера.

4. Нажать клавишу "Сброс" для обнуления индикатора секундомера, генерирования сигнала разрешения на измерение и включения обмотки электромагнита.

5. Повернуть рамку прибора так, чтобы в отклоненном состоянии она была зафиксирована электромагнитом.

6. Нажать клавишу "Пуск". Нажатие этой клавиши запускает секундомер и отключает электромагнит. Рамка при этом отпускается и начинает совершать крутильные колебания, которые подсчитываются в электронном блоке посредством сигналов, поступающих от фотоэлектрического датчика 15.

7. После совершения рамкой определенного числа колебаний систему остановить нажатием кнопки "Стоп". Индикаторы электронного блока указывают число N совершенных колебаний и общее время t, за которое они были совершены.

Задание 1. Определение модуля кручения.

При использовании установки крутильных колебаний для определения моментов инерции твердых тел необходимо знать величину модуля кручения D нитей подвеса 7 рамки. Поскольку упругие свойства

8

материала при кручении зависят от многих факторов, то значение модуля D определяют экспериментально. В настоящей работе используется динамический метод измерения модуля кручения, основанный на зависимости периода Т крутильных колебаний рамки, подвешенного на проволоке, от упругих свойств материала проволоки.

Согласно уравнению (16), период колебаний Т зависит как от модуля кручения D, так и от момента инерции J системы, совершающей колебания. Поэтому измерения проводят с помощью эталонных тел, моменты инерции которых J_т известны, или легко рассчитываются. Система, совершающая колебания, включает в себя эталонное тело и рамку, моментом инерции J_р которой нельзя пренебречь. Так как эталонное тело и рамка совершают вращательное движение вокруг одной и той же оси, то, согласно уравнению (9), их моменты инерции суммируются:

J = J_р + J_т (17)

Если выразить момент инерции из уравнения (16), то:

J = J_р + J_т =Т²D/(4²) (18)

Поскольку момент инерции рамки J_р неизвестен, измерения проводят в два этапа, используя два различных эталонных тела с моментами инерции J_т1 и J_т2. В этом случае мы имеем систему двух уравнений:

J_р + J_т1 = Т₁² D/(4²) (19а)

J_р + J_т2 = Т₂² D/(4²) (19б)

Вычитая одно из другого, получаем выражение для модуля кручения, не содержащее неизвестных (или не определяемых в эксперименте) параметров:

D = 4²(J_т1 – J_т2)/(Т₁² – Т₂²) (20)

Измерения проводятся следующим образом:

1. Взять первое эталонное тело – один из двух дисков. Измерить штангенциркулем его толщину l и диаметр. Получить значение радиуса диска r. Взвесить диск на технических весах, или принять известное

9

значение его массы m (может быть указано на диске или на установке). По формуле (4) рассчитать момент инерции диска J_т1 и занести это значение в таблицу 1.

2. Провести операции согласно пунктам 1-7 порядка работы на установке (см. раздел «Описание установки и метода измерений»). Полученные значения N и t для первого тела занести в таблицу 1.

3. Еще два раза определить N и t (операции по пунктам 4-7 порядка работы на установке) и занести их в те же колонки.

4. Рассчитать значения периодов колебаний T₁ как отношение t/N и их среднее значение T_1ср. Занести их в таблицу 1.

5. Повторить предыдущие операции (1-4) для другого диска, занося значения J_т2, N, t, T₂ и T_2ср в таблицу 1 ("Второе тело").

6. Используя полученные значения J_т1 , J_т2 , Т₁ и Т₂ , по формуле (20) рассчитать и занести в таблицу 1 значение модуля кручения D.

7. Методом косвенных измерений найти абсолютную и относительную погрешности измерений.

Таблица 1.

№ п/п	Первое тело					Второе тело					D, Нм
	Jт1 , кг·м2	N	t, с	T1 , с	T1ср , с	Jт2 , кг·м2	N	t , с	T2 , с	T2ср , с
1
2
3

Задание 2. Определение момента инерции пустой рамки.

1. Освободить рамку от дополнительных тел и три раза определить значения N и t для пустой рамки (аналогично тому, как это делалось в предыдущем задании для рамки с телом) и занести их в таблицу 2.

10

2. Определить три значения периода колебаний пустой рамки T₀, рассчитать их среднее значение T_0ср и занести эти данные в таблицу 2.

3. Тремя способами определить значение момента инерции пустой рамки:

а) используя полученное значение периода колебаний T_0ср и значение D из таблицы 1, рассчитать J_р0 по формуле, аналогичной формуле (18):

J_р0 = (Т_0ср)²D/(4²)

б) используя значения J_т1, Т₁ и D из таблицы 1, рассчитать J_р1 по формуле, полученной из формулы (19а):

J_р1 = Т₁² D/(4²) – J_т1

в) используя значения J_т2, Т₂ и D из таблицы 1, рассчитать J_р2 по формуле, полученной из формулы (19б):

J_р2 = Т₂² D/(4²) – J_т2

4. Сравнить полученные значения J_р0, J_р1 и J_р2; рассчитать из них среднее значение момента инерции пустой рамки J_р-ср и занести его в таблицу 2.

5. Вычислить абсолютную и относительную погрешности.

Таблица 2.

№ п/п	N	t , с	T0 , с	T0ср , с	Jр0 , кг·м2	Jр1 , кг·м2	Jр2 , кг·м2	Jр-ср , кг·м2
1
2
3

Задание 3. Определение момента инерции тела.

1. Закрепить исследуемое тело – прямоугольный параллелепипед – в рамке, совместив с осью вращения одну из главных осей инерции данного тела. Три раза определить N и t (так же, как это делалось в предыдущих заданиях) и занести эти значения, а также соответствующие им значения T = t/N, для оси № I в таблицу 3.

11

2. Повторить проделанные операции для двух других главных осей инерции исследуемого тела. Полученные значения N, t и T для оси № II и для оси № III занести в таблицу 3.

3. Для всех трех осей из трех значений периода колебаний рамки с телом T рассчитать их средние значения T_ср и занести эти данные в таблицу 3.

4. Рассчитать и занести в таблицу 3 значения моментов инерции рамки с исследуемым телом J, рассчитанные по формуле (18): J = (Т_ср)²D/(4²)

5. Используя полученное ранее среднее значение момента инерции рамки Ј_р‑ср (таблица 2), из соотношения Ј_т = Ј – Ј_р‑ср определить значения моментов инерции тела Ј_т относительно трех его главных осей инерции и занести эти значения в таблицу 3.

Таблица 3.

№ оси	№ п/п	N	t, с	T, с	Tср , с	J , кг·м2	Jт , кг·м2
	1
I	2
	3
	4
II	5
	6
	7
III	8
	9

12

Контрольные вопросы для подготовки к работе:

1. Какая величина называется моментом инерции материальной точки и твердого тела?

2. По какому закону происходят крутильные колебания?

3. Что такое модуль кручения и от чего он зависит?

4. Какие величины измеряют в данной работе, какие вычисляются и по каким формулам?

Контрольные вопросы для защиты работы:

1. Что такое момент инерции и каков физический смысл этой величины?

2. Каковы единицы измерения момента инерции?

3. Что называется упругой деформацией?

4. Вывести формулу для определения модуля кручения.

5. Какова природа крутильных колебаний и по какому закону они происходят?

6. Что называется моментом импульса тела? Как он направлен?

7. В чем состоит теорема Штейнера?

8. Написать формулу периода крутильных колебаний.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Макаров Игорь Евгеньевич, д.х.н. профессор

Юрик Тамара Константиновна, к.х.н. доцент