ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

И.Е. МАКАРОВ, Т.К. ЮРИК

Определение момента инерции твёрдых тел с помощью крутильных колебаний

Методические указания к лабораторной работе

Утверждено в качестве методического пособия

Редакционно-издательским советом МГУДТ

Москва

МГУДТ

2008

УДК [001:53]

М-4

Куратор РИС проф. Костылева В.В.

Работа рассмотрена на заседании кафедры физики МГУДТ и рекомендована к печати.

Заведующий кафедрой проф. Родэ С.В.

Авторы: д.х.н. проф. Макаров И.Е.

к.х.н. доц. Юрик Т.К.

Рецензент: проф. Сидоров В.Г.

М-4 Макаров И.Е. Определение момента инерции твёрдых тел с помощью крутильных колебаний / Макаров И.Е., Юрик Т.К.-М.:ИИЦ МГУДТ.2008 – 13стр.

Содержатся указания для изучения законов динамики вращательного движения, моментов инерции некоторых тел правильной геометрической формы, теоремы Штейнера.

Дано описание установки и принципа измерений. Работа состоит из трех заданий:

- определение модуля кручения

- определение момента инерции пустой рамки подвеса;

- определение момента инерции тела.

Методические указания предназначены для студентов специальностей: 0608(080502), 1707(150406), 2102(220301), 2203(230104), 0720(200503), 2506(240502), 2808(260901), 2809(260902), 2810(260906), 3302(280202), 2811(260904), 2812(260905); направлений подготовки бакалавров 5508(240100), 5502(220200), 5518(150400), 5539(260800)

УДК [001:53]

(С) Московский Государственный

университет дизайна и технологии, 2008

3 Лабораторная работа № 15 «Определение момента инерции твёрдых тел с помощью крутильных колебаний»

Цель работы: определение момента инерции твердых тел.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник с электронным блоком регистрации, параллелепипед, 2 диска, штангенциркуль.

Теоретическое введение:

Момент инерции

Моментом инерции системы (тела) относительно некоторой оси называется физическая величина, равная сумме произведений массm_i материальных точек системы на квадраты их расстояний r_i до рассматриваемой оси:

Момент инерции характеризует пространственное распределение массы тела относительно оси и является мерой инертности данного тела по отношению к вращательному движению вокруг этой оси.

Всегда существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на них внешних сил. Эти оси называются свободными (или осями свободного вращения). У любого тела есть три взаимно перпендикулярные свободные оси вращения, проходящие через центр масс тела, называемые главными осями инерции. Момент инерции тела относительно главной оси называется главным моментом инерции.

Для систем (тел) с непрерывным и равномерным распределением массы сумма, представленная уравнением (1), сводится к интегралу:

где интегрирование производится по всему объему тела; ρ – плотность материала; dV – элементарный объем; dm = ρdV – элементарная масса; r = r(x, y, z) – функция положения точки с координатами х, у, z. Интегрирование в аналитической форме сравнительно легко осуществимо для однородных тел правильной геометрической формы при расчете их моментов инерции относительно осей симметрии, являющихся главными осями инерции этих тел. Результатом интегрирования является выраженная в явном виде зависимость момента инерции тела от его массы и линейных размеров. Для некоторых из таких тел массой m момент

4

инерции относительно оси, проходящей через центр масс, выражается следующим образом:

• Шар радиуса r для любой оси

J = 2mr²/5 (3)

• Сплошной цилиндр (или диск) радиуса r высотой (толщиной) l :

– для оси, перпендикулярной плоскости основания

J = mr²/2 (4)

– для оси, параллельной плоскости основания

J = mr²/4 + ml²/12 (5)

• Прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и c для оси, перпендикулярной плоскости ab (параллельной ребру c)

J = m(a² + b²)/2 (6)

• Тонкий стержень длиной l для оси, перпендикулярной стержню

J = ml²/12 (7)

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси можно рассчитать, используя теорему Штейнера: момент инерции тела J’ относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции J относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы m тела на квадрат расстояния r между осями:

J’ = J + mr² (8)

Момент инерции является величиной аддитивной. То есть, момент инерции нескольких тел относительно некоторой оси О (J_О) равен сумме моментов инерции этих тел J_Оi относительно той же оси: