математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

А.А.ГОРСКИЙ, И.Г.КОЛПАКОВА

ПОСОБИЕ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ для студентов-заочников

(2 курс, 3 семестр)

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Утверждено в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом МГУДТ

МГУДТ 2007

1

УДК 519

Г72

Работа рассмотрена на заседании кафедры высшей математики и рекомендована к печати.

Г71 Горский А.А., Колпакова И.Г. Пособие по курсу математики для студентов-заочников (2 курс, 3 семестр): Учебное пособие/ Горский А.А.

идр.-ИИЦ МГУДТ. 2007 - 66 с.

Впособии кратко изложен теоретический материал и приведены практические задания для заочников, изучающих курс математики в третьем семестре второго курса обучения.

УДК 519

°c Московский государственный университет

дизайна и технологии, 2007

2

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие содержит основной теоретический материал по темам “Ряды”и “Дифференциальные уравнения”, который необходим студентам 2-го курса в третьем семестре. По всем разделам теории приведены подробно разобранные примеры решения типовых задач. В конце пособия имеется справочный материал и варианты заданий:

²Приложение 1 Приведены основные формулы дифференцирования и интегрирования.

²Приложение 2 Варианты индивидуальных заданий для студентовзаочников.

3

Ряды

ПРИБЛИЖЕНИЕ (АППРОКСИМАЦИЯ)

Все измерения и вычисления в науке и технике выполняются не абсолютно точно, а с определ¸нной степенью точности. Повышение точности, как правило, связано с возрастанием затрат (труда, денег и т.д.). Например, расстояние между зданиями можно проводить шагами (неточно, но д¸шево) или лазерным дальномером (очень точно, но дорого). Учитывая фактор затрат, точность проводимых измерений и вычислений должна соответствовать требуемой точности решения задачи.

Вматематике разработаны методы, позволяющие выбирать степень точности задания данных и вычислений при решении конкретных задач. Эти методы составляют предмет теории приближения (аппроксимации).

Вобщей формулировке задача аппроксимации заключается в определении для последующего использования приближ¸нных значений интересующих величин и зависимостей, удовлетворяющих требованиям к точности, но определяемых менее трудо¸мким способом.

Одним из способов аппроксимации является использование рядов. Ряд, это сумма бесконечного числа слагаемых. Реально в вычисле-

ниях используется только некоторое конечное число первых слагаемых (членов ряда). Увеличивая число используемых членов, можно повышать точность расч¸тов, вплоть до требуемой.

Рассмотрение рядов целесообразно начать с простейших, но наименее используемых, числовых рядов с положительными членами, последовательно переходя к более интересным типам рядов.

4

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ

Числовым рядом называется сумма бесконечного числа слагаемых (чисел).

Обозначения ряда:

Величина un называется общим членом ряда. Задавая значение индекса n, можно задать любой член конкретного ряда.

Сходимость Понятие сходимости ряда связано со способом его использования: в вычислениях используется конечная сумма первых членов ряда - частичная сумма.

Частичной суммой Sn ряда (1) называется сумма его первых n членов:

Sn = Pn

k=1

Ряд называется сходящимся, если сходится (имеет предел) последовательность его частичных сумм. Предел последовательности частичных сумм, если он существует, называется суммой ряда:

В противном случае, если предела не существует или он бесконечен, ряд называется расходящимся.

Замечание На свойство сходимости не влияет добавление или вычитание конечного числа начальных членов. Исходя из практических соображений номера членов ряда могут начинаться не с единицы, а с другого числа, например, нуля.

Для сходимости ряда необходимо, чтобы с ростом n общий член ряда un стремился к нулю. Этот признак не является достаточным, он так и называется необходимым признаком сходимости ряда.

Доказательство: Переходя к пределу в соотношении

un=Sn¡Sn¡1;

получаем требуемое.

Необходимый признак позволяет отсеивать заведомо расходящиеся

ряды: если lim un 6= 0, то ряд расходится.

n!1

Бесконечная геометрическая прогрессия

5

При n ! 1 левая часть этой формулы переходит в ряд. Как видно из (2), сумма членов прогрессии, представляющая частичную сумму ряда, имеет предел при jqj < 1 и не имеет предела при jqj ¸ 1. Бесконечная геометрическая прогрессия представляет ряд, сходящийся при jqj < 1 и расходящийся при jqj ¸ 1.

Пример 1.Дан общий член ряда: un = 53nn ++ 41. Написать первые три члена ряда.

Решение: Последовательно подставим в формулу для общего члена значения n = 1; 2:3 и получим первые три члена ряда :

Если n=1, тогда

Решение : Общий член ряда можно представить следующим образом: un = an

5bn ¢ cn

fang – арифметическая прогрессия 3, 7, 11, 15, : : : (a1=3; d=4),

an=3+4(n¡1), an=4n¡1,

fbng – арифметическая прогрессия 2, 5, 8, 11, : : : (b1=2; d=3),

bn=2+3(n¡1), bn=3n¡1,

fcng – арифметическая прогрессия 8, 10, 12, 14, : : : (c1=8; d=2),

cn=8+2(n¡1); cn=2(n+3).

4n ¡ 1 Тогда un = 53n¡1 ¢ 2(n + 3)

6

условие сходимости ряда не выполняется и заданный ряд расходится.

РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Проще всего устанавливаются сходимость или расходимость числовых рядов с членами одного знака (положительными или отрицательными). Очевидно, что достаточно сформулировать условия сходимости рядов с положительными членами.

В дальнейшем результаты анализа применяются к рядам, содержащим члены разных знаков.

Исследование сходимости рядов с положительными членами облегчается тем, что частичные суммы таких рядов монотонно возрастают (Sn+1 = Sn + un+1 > Sn) и, поэтому, для сходимости достаточно убедиться в ограниченности всех частичных сумм. На этом основан признак сравнения рядов.

Признак сравнения рядов

7

Пусть даны два ряда с положительными членами:

прич¸м все члены A не больше соответствующих членов B: un · vn для всех n.

Тогда:

²Из сходимости ряда B следует сходимость ряда A,

²Из расходимости ряда A следует расходимость ряда B.

Доказательство: Очевидно, любая частичная сумма ряда A меньше или равна соответствующей частичной суммы ряда B.

Если ряд B сходится, его частичные суммы ограничены (меньше суммы ряда B). Значит ограничены и частичные суммы и сама сумма ряда A.

Если ряд A расходится, его частичные суммы неограниченно увеличиваются, следовательно, неограниченно увеличиваются и частичные сум-

n=1 n=1

Замечание В качестве “эталонных” рядов для признака сравнения можно использовать геометрическую прогрессию или обобщ¸нный гармонический ряд (о последнем см. ниже).

Большинство известных признаков сходимости рядов выведены с использованием признака сравнения рядов: исследуемый ряд сравнивается с рядом, сходимость или расходимость которого известна.

Признак сравнения рядов, точнее, сравнение рядов, используется для оценки точности аппроксимации рядами.

В приближ¸нных вычислениях вместо ряда используется его частичная сумма.

=n+1

8

Очевидно, что эта величина меньше или равна аналогичной суммы для ряда B:

Если ряд B суммируется аналитически (например, это геометрическая прогрессия), то сумму в правой части (4) можно сосчитать, а она да¸т границу ошибки оценивания величины A конечной суммой ряда.

Искусство исследователя заключается в том, чтобы найти аналитически суммируемый ряд, члены которого больше и не сильно отличаются от членов ряда A, в этом случае оценка погрешности будет близка к действительной погрешности.

Признак Даламбера

то

если q < 1 – ряд сходится, если q > 1 – ряд расходится,

если q = 1 – признак не работает, требуется дополнительное исследо-

для всех k > N. Поскольку проверяется только сходимость ряда, можно считать, что условие (6) выполняется для всех n, начиная с первого.

Перемножая неравенства, полученные из (6) для k = 1; : : : n, получа-

Это неравенство означает, что общий член исследуемого ряда ограничен снизу и сверху общими членами геометрических прогрессий со знаменателями q¡² и q + ².

Если q < 1, подбором ² величина q + ² может быть сделана меньшей единицы.

9

Если q > 1, подбором ² величина q ¡ ² может быть сделана большей единицы.

Из признака сравнения рядов и условия сходимости геометрической прогрессии следуют утверждения признака Даламбера.

Признак Коши В признаке Коши для ряда с положительными членами

P1 uk вычисляется предел

k=1

p

q = lim n un:

n!1

Если q < 1 – ряд сходится, если q > 1 – ряд расходится,

если q = 1 – требуется дополнительное рассмотрение.

Признак доказывается аналогично тому, как доказывался признак Даламбера, опираясь на неравенство, следующее из определения q:

p

q ¡ ² · n un · q + ²:

Признаки Даламбера и Коши выведены из сравнения исследуемого ряда с геометрической прогрессией. Другие признаки могут быть получены из сравнения с другими рядами.

Интегральный признак Коши Интегральный признак основан на сравнении ряда с несобственным

интегралом.

Исследуется сходимость ряда P1 f(k), где f(x) – монотонно убываю-

k=1

щая и стремящаяся к нулю с ростом аргумента x функция.

Согласно интегральному признаку ряд P1 f(k) и интеграл R1f(x) dx

k=1

сходятся или расходятся одновременно. Доказательство следует из соотношения

вытекающего из Рис.1.

Исследование сходимости обобщ¸нного гармонического ряда

Рассмотрим ряд P1 1 , который называется обобщ¸нным гармони-

n=1 n®

ческим рядом. Исследуем его сходимость с помощью интегрального признака. Для этого вычислим интеграл

Z 1 dx:

1x®

10