математика

откуда вычисляя интегралы в левой и правой части, получаем первый интеграл, который не уда¸тся разрешить относительно y:

y + ln jy ¡ 1j = ln jxj + ln C:

Потенцируя, это выражение можно упростить:

eyjy ¡ 1j = Cjxj:

В этом выражении отсутствует одно решение y=1, которое было потеряно при делении исходного дифференциального уравнения на (y¡1) для получения равенства с разделенными переменными.

31

ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-го ПОРЯДКА

В общем случае линейное дифференциальное уравнение первого по-

где P (x) и Q(x) – произвольные заданные функции независимого аргумента x.

Линейное уравнение содержит члены, в которые неизвестная функция y и е¸ производная входят только в первой степени, и члены, не зависящие от y. Если член, не зависящий от y в уравнении отсутствует, Q(x)=0, линейное уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (8) представляет уравнение с разделяющимися переменными:

dxdy = P (x)y:

Решая его записанным выше способом, получаем общее решение линейного однородного уравнения:

y = CeR P (x) dx:

Для решения неоднородного уравнения (8) применим метод, который называется методом вариации произвольной постоянной. А именно, предположим, что общее решение неоднородного уравнения имеет ту же структуру, что и решение однородного, с тем отличием, что вместо произвольной постоянной в н¸м участвует функция C(x):

y = C(x)eR P (x) dx:

Неизвестную функцию C(x) найд¸м, подставляя это выражение в уравнение (8). В результате подстановки получаем:

R R R

C0(x)e P (x) dx + C(x)e P (x) dxP (x) = P (x)e P (x) dxC(x) + Q(x);

или, после сокращения одинаковых членов в левой и правой частях:

R

C0(x)e P (x) dx = Q(x);

откуда C0(x) = Q(x)e¡ R P (x) dx:

32

Интегрируя это соотношение, получаем:

C(x) = Z Q(x)e¡ R P (x) dxdx + C1:

Подставляя это выражение в формулу искомого решения, окончательно получаем:

То же решение иногда получается другим пут¸м. Будем искать решение уравнения (8) в виде произведения двух функций:

Выберем функцию v таким образом, чтобы в нуль обращалось выраже-

ние в круглых скобках:

v0 ¡ P v = 0:

Это уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которо- го имеет вид: v(x) = CeR P (x) dx:

Выражение в круглых скобках обращает в нуль любое решение, положим v(x) = eR P (x) dx:

Подставляя это выражение в (10), и интегрируя найденное из него выражение для u0, получим выражение для решения (9).

Пример 13.Решить уравнение (1 ¡ x)y0 + y = 1.

Подставляя в уравнение выражение для решения y = uv, получим

(1 ¡ x)(u0v + uv0) + uv = 1:

или, после группировки членов:

(1 ¡ x)u0v + u[(1 ¡ x)v0 + v] = 1:

Из условия обращения в нуль выражения в прямоугольных скобках находим выражение для v: v = x ¡ 1, подставляя которое в уравнение для u,

1

находим u = x ¡ 1 + C и y = uv = 1 + C(x ¡ 1).

33

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Линейные уравнения образуют небольшой класс из общего множества уравнений, свойства которых сильно облегчают их исследование и решение. Это замечание касается как алгебраических, так и дифференциальных уравнений и систем. Благодаря этому существуют развитые теории линейных уравнений.

Настоящий раздел посвящ¸н изложению и доказательству свойств линейных систем, облегчающих их решения.

Доказательства проведены на примере линейного дифференциального уравнения 1-го порядка, для того, чтобы сократить изложение. Свойство 1. Линейная комбинация решений однородного линейного уравнения также является решением этого уравнения. Доказательство. Пусть y1 и y2 – два решения уравнения y0 = P (x)y:

y10 = P (x)y1; y20 = P (x)y2:

Помножим первое равенство на постоянный коэффициент ®, а второе

– на постоянный коэффициент ¯ и сложим. После элементарных группировок членов получим соотношение

(®y1 + ¯y2)0 = P (x)(®y1 + ¯y2);

показывающее, что комбинация (®y1+¯y2) также является решением уравнения.

Свойство 2. Сумма решений неоднородного и однородного линейных уравнений представляет решение неоднородного уравнения. Доказательство. Пусть y1 – решение неоднородного уравнения y0 = P y+

Q:

y10 = P y1 + Q;

а y2 – решение, соответствующего ему, однородного уравнения:

y20 = P y2:

Складывая два последних соотношения и группируя члены, получаем соотношение

(y1 + y2)0 = P (y1 + y2) + Q;

означающее, что сумма y1+y2 представляет решение неоднородного уравнения.

34

Свойство 3. Решение линейного дифференциального уравнения со свободным членом, представляющим сумму нескольких слагаемых, равно сумме решений уравнения со свободными членами, равными отдельным слагаемым.

Доказательство. Пусть y1 – решение уравнения

y10 = P y1 + Q1(x);

а y2 – решение уравнения

y20 = P y2 + Q2(x):

Складывая эти уравнения и группируя члены получаем выражение

(y1 + y2)0 = P (y1 + y2) + Q1(x) + Q2(x);

доказывающее свойство 3.

Из этих свойств следует, что общее решение линейного уравнения представляет сумму решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения представляет сумму частных решений однородного уравнения, взятых с произвольными коэффициентами.

ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА n

Общее выражение линейного дифференциального уравнения порядка n имеет вид:

a0(x)y(n) + a1(x)y(n¡1) + ¢ ¢ ¢ + an(x)y = f(x):

Из Свойства 2 линейных систем следует, что общее решение этого уравнения может быть представлено суммой любого решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.

Согласно теории дифференциальных уравнений решение однородного уравнения порядка n зависит от n произвольных постоянных. Из Свойства 1 следует, что общее решение представляет сумму n решений однородного уравнения, помноженных на произвольные постоянные. Эти решения должны удовлетворять ещ¸ одному условию – они должны быть линейно независимыми.

Определение. Система n функций '1(x); '2(x); : : : ; 'n(x) является линейно независимой, если тождество

35

®1'1 + ®2'2 + ¢ ¢ ¢ + ®n'n ´ 0

выполняется только в случае, если все коэффициенты ®i равны нулю. Если тождество выполняется, когда некоторые из коэффициентов ®i

отличны от нуля, система функций является линейно зависимой. Линейная зависимость означает, что некоторые из функций 'i явля-

ются линейной комбинацией (суммой помноженных на постоянные коэффициенты) остальных функций. Пусть, например, тождество выполняется при ®1 6= 0, тогда из него получается:

1

'1 = ¡®1 (®2'2 + ¢ ¢ ¢ + ®n'n)

Очевидно, что добавление к нескольким функциям функции, являющейся линейной комбинацией известных, в смысле линейной комбинации ничего, фактически, не добавляет: любая линейная комбинация, включающая новую функцию, может быть преобразована в линейную комбинацию без новой функции.

При построении общего решения линейного однородного уравнения в сумме решений с произвольными коэффициентами должны быть только линейно независимые решения.

Линейная независимость решений гарантирует, что из общего решения, подбором произвольных постоянных, может быть получено решение, удовлетворяющее заданным n начальным условиям.

Благодаря свойствам линейных систем задача нахождения общего линейного дифференциального уравнения порядка n распадается на две: определения n линейно независимых решений однородного уравнения и определения одного решения неоднородного.

В большинстве практически интересных случаев определить решения однородного уравнения не уда¸тся из-за того, что решения не могут быть представлены аналитическими выражениями, аналогично тому, что не уда¸тся аналитически вычислить первообразные даже простых функций.

Но существует очень важный в практическом отношении подкласс линейных дифференциальных уравнений – линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, которые решаются, практически, всегда.

36

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Общая форма линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами порядка n имеет вид

Процесс решения уравнения (11), как и любого линейного уравнения, разбивается на два этапа: определения общего решения однородного уравнения и определения одного решения неоднородного.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Для решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

используется подстановка y(x) = e¸x. Подставляя это выражение в (12), получаем:

a0¸ne¸x + a1¸n¡1e¸x + ¢ ¢ ¢ + ane¸x = 0;

или

e¸x(a0¸n + a1¸n¡1 + ¢ ¢ ¢ + an) = 0:

Поскольку показательная функция e¸x никогда в нуль не обращается, то для того, чтобы y(x) = e¸x было решением уравнения (12), необходимо, чтобы выполнялось алгебраическое уравнение степени n

Уравнение (13) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (12).

Основной трудностью решения линейного уравнения с постоянными коэффициентами является нахождение корней уравнения (13). Однако, эта трудность преодолима, в крайнем случае, можно прибегнуть к численному алгоритму нахождения корней полиномиальных уравнений. Будем считать, что способ определения корней известен.

Из теории полиномиальных уравнений известно, что любое алгебраическое уравнение степени n имеет в точности n корней, если считать

37

и комплексные корни (корни в виде комплексных чисел). Например, согласно школьной математике квадратное уравнение x2¡2x+2=0 корней не имеет, поскольку дискриминант этого уравнения отрицателен. Если допускать существование и комплексных корней, то это уравнение имеет два корня: x1=1+i и x2=1¡i. Заметим, что комплексные корни многочленного уравнения с действительными коэффициентами обязательно встречаются парами комплексно сопряж¸нных корней.

Другое важное замечание. Опять же в школьной математике считается, что, например, уравнение x2¡2x+1=0 имеет один корень x=1. В высшей математике считается, что это уравнение имеет 2 одинаковых корня. При этом используется такое определение корней: корнями урав-

нения

a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = 0

называются числа x1; x2; : : : xn, удовлетворяющие равенству

a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = a0(x ¡ x1)(x ¡ x2) : : : (x ¡ xn):

Среди корней уравнения x1; x2; : : : xn могут быть одинаковые (кратные) корни и пары комплексных корней.

Верн¸мся к решению дифференциального уравнения (12).

Если корни характеристического уравнения ¸1; ¸2; : : : ; ¸n – разные действительные числа, n линейно независимых решений уравнения равны xi=e¸ix, i = 1; 2; : : : n и общее решение дифференциального уравнения представляется формулой

y = C1e¸1x + C2e¸2x + ¢ ¢ ¢ + Cne¸nx:

При наличии комплексных корней характеристического уравнения поступают следующим образом. Каждой паре комплексных корней характеристического уравнения ¸=®+i!

и¸=®¡i! соответствуют два комплексных решения однородного дифференциального уравнения y1 = e(®+i!)x и y2 = e(®¡i!)x. Из них можно получить действительные решения, используя свойства линейных систем

икомплексных функций. Известно, что сумма двух решений однородного уравнения, умноженная на постоянный множитель также является решением. Составим комбинацию из двух решений:

поскольку, из формулы Эйлера ei' = cos '+i sin ' вытекает соотношение

ei' + e¡i'

= cos ':

2

38

Аналогично, составляя комбинацию в виде разности решений, дел¸н- ной на 2i, получим, что решением однородного уравнения является функция y = e®x sin !x.

Резюмируя изложенное, получаем правило получения действительных решений, соответствующих комплексным корням характеристического уравнения:

Паре сопряженных, комплексных корней ¸=®§i! соответствует пара действительных решений дифференциального уравнения e®x cos !x и e®x sin !x.

Правило для определения решений в случае кратных корней – следующее. Если ¸ – корень характеристического уравнения кратности k, то наряду с решением дифференциального уравнения e¸x имеются решения xe¸x; x2e¸x; : : : xk¡1e¸x.

Используя эти правила, для любого характеристического уравнения можно получить в точности n линейно независимых решений.

Пример 14.Определим общее решение однородного уравнения

y00 + 3y0 + 2y = 0:

Применяя подстановку y=e¸x, получаем характеристическое уравнение

¸2 + 3¸ + 2 = 0;

которое имеет два действительных корня ¸1=¡1, ¸2=¡2. Общее решение дифференциального уравнения равно

y = C1e¡x + C2e¡2x:

Пример 15.Определим общее решение однородного уравнения

y00 + 2y0 + 2y = 0:

Характеристическое уравнение для него

¸2 + 2¸ + 2 = 0;

имеет два комплексных корня ¸1=¡1+i, ¸2=¡1¡i (®=¡1; !=1).

Общее комплексное решение дифференциального уравнения имеет вид

y = C1e(¡1+i)x + C2e(¡1¡i)x:

Подбором комплексных значений производных постоянных, из этого выражения можно получить действительное общее решение, но последнее обычно получается проще. Паре сопряженных комплексных корней ¸1=¡1+i и

39

¸2=¡1¡i соответствуют два линейно независимых, действительных решения дифференциального уравнения y = e¡x cos x и y = e¡x sin x, используя которые, общее решение записывается в виде

y = C1e¡x cos x + C2e¡x sin x:

Пример 16.Определим общее решение однородного уравнения

y00 + 2y0 + y = 0:

Характеристическое уравнение

¸2 + 2¸ + 1 = 0;

в этом случае имеет один действительный корень ¸=¡1 кратности 2, поэтому дифференциальное уравнение имеет два независимых решения y = e¡x и y = xe¡x, общее решение дифференциального уравнения равно

y = C1e¡x + C2xe¡x:

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Как известно из общей теории линейных дифференциальных уравнений, для нахождения общего решения неоднородного уравнения достаточно найти хотя бы одно решение неоднородного уравнения и добавить к нему общее решение однородного.

Универсальный метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения – это метод вариации произвольных постоянных (в общем решении однородного уравнения).

Общее решение линейного, однородного дифференциального уравнения порядка n имеет вид:

y = C1y1(x) + C2y2(x) + ¢ ¢ ¢ + Cnyn(x);

где yi(x) –линейно независимые решения уравнения. Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + ¢ ¢ ¢ + Cn(x)yn(x);

40