математика

расходится при ® < 1 и сходится при ® > 1.

Рис.1

Согласно интегральному признаку, ряд расходится при ® < 1 и сходится при ® > 1.

Окончательно имеем: ряд P1 1 расходится при ® · 1 и сходится при

® > 1.

n=1 n®

В следующих примерах требуется исследовать сходимость рядов с помощью одного из достаточных признаков сходимости.

Пример 5.

Решение: Общий член ряда имеет вид un = 3n +n 4.

Воспользуемся признаком Даламбера:

5

следовательно, ряд сходится.

11

Решение: Используем признак сравнения в предельной форме. Общий член

lim un = 2 = q:

n!1 vn

Поскольку 0 < q = 2 < 1, исходный ряд сходится.

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница Знакочередующимся называется ряд, члены которого попеременно

положительные или отрицательные.

Признак (теорема) Лейбница. Если члены ряда u1¡u2+u3¡u4+ : : : +(¡1)n+1un+ : : : ;

где uk > 0, удовлетворяют условиям: 1. un+1 · un;

2. lim un = 0,

n!1

то ряд сходится, его сумма положительна и не превышает первого члена.

Доказательство: сумма ч¸тного числа членов S2m может быть записана в виде

S2m = (u1 ¡ u2) + (u3 ¡ u4) + ¢ ¢ ¢ + (u2m¡1 ¡ u2m);

откуда следует, что она положительна. Та же сумма может быть записана в виде

S2m = u1 ¡ (u2 ¡ u3) ¡ (u4 ¡ u5) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ u2m · u1;

откуда видно, что она ограничена. Из этих двух фактов следует существование предела частичных сумм, содержащих ч¸тное число членов. Суммы неч¸тного числа членов имеют на один, стремящийся к нулю, член больше и следовательно, имеют тот же самый предел.

Погрешность аппроксимации конечной суммой членов знакочередующегося ряда не превышает модуля первого неучт¸нного члена.

12

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ

Знакопеременный ряд – это числовой ряд, на знаки членов которого не наложено никаких условий.

Теорема Если ряд Puk таков, что ряд абсолютных величин Pjukj сходится, то ряд Puk также сходится.

Доказательство Пусть sn = Pn uk, ¾n = Pn jukj, s0n – сумма всех поло-

k=1 k=1

жительных членов, s00n – сумма абсолютных величин всех отрицательных членов из первых n членов ряда. Очевидно: sn=s0n¡s00n, ¾n=s0n+s00n. Если ¾n имеет предел при n ! 1, то имеют предел s0n и s00n, отсюда следует,

расходится по интегральному признаку Лейбница.

Отсюда следует, что ряд P1 (¡1)n n1 сходится условно.

n=1

Понятие абсолютной сходимости применяется на практике для того. чтобы установить сходимость произвольного ряда, используя признак сходимости рядов с положительными членами.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Функциональный ряд – это сумма бесконечного числа функций P1 uk(x).

k=1

Функциональный ряд можно трактовать как множество числовых рядов: задав значение x, из функционального получаем числовой ряд.

Функциональный ряд называется сходящимся на множестве X значений аргумента x, если сходятся все числовые ряды, полученные из функционального ряда заданием аргумента x из множества X.

Сходимость функционального ряда можно проверять, проверяя сходимость получаемых из него числовых рядов.

Очень часто используется подход, состоящий в получении мажорирующего ряда или мажоранты – числового сходящегося ряда с положи-

тельными членами P1 vk, такого, что vn ¸ jun(x)j для всех n и x 2 X.

k=1

Равномерная сходимость функциональных рядов

13

Для использования рядов важна не только сходимость, но и скорость сходимости, определяющая, как быстро с увеличением числа членов частичная сумма стремится к сумме ряда.

Функциональный ряд – это множество числовых рядов, и если для формального определения сходимости достаточно сходимости последних, возможности практического использования функционального ряда существенно зависят от того, одинаково ли быстро сходится ряд при различных значениях аргумента x. Свойство равномерной (примерно с одной скоростью) сходимости используется как для рядов, так и для последовательностей функций (сходимость ряда эквивалентна сходимости его частичных сумм, а сходимость произвольной последовательности эквивалентна сходимости ряда, члены которого равны разностям двух последовательных членов последовательности).

Пример 9.Для иллюстрации равномерной и неравномерной сходимости рассмотрим простой пример последовательности fxng, которая на любом отрезке [0; a], a < 1 стремится равномерно к нулю, а на полуинтервале [0; 1) –

неравномерно. В самом деле, очевидно, что lim xn = 0 для всех 0 · x < 1.

n!1

Однако, нельзя указать номер n, начиная с которого все члены последовательности xn будут меньше, например, 0,5 при x<1 . Действительно, для любого n можно найти значение x из полуинтервала 0 · x < 1, такое, что xn > 0; 5, для этого надо взять x > 0; 51=n. Если же рассматривать последовательность fxng на отрезке [0; a], то из неравенства x · a следует xn · an, а число an подбором сделать меньше любого числа ².

Определение: Ряд P1 uk(x) сходится на множестве X равномерно, если

k=1

для любого ² > 0 можно найти такое число N, не зависящее от x, что модуль разности частичной суммы S + n(x) и суммы яда S(x): jSn(x) ¡ S(x)j < ² для всех x 2 X, если только n > N.

В областях X, где ряды сходятся равномерно, с ними можно обращаться как с обычными функциями: выполнять любые алгебраические операции, интегрировать, дифференцировать. При дифференцировании, однако, надо убедиться, что продифференцированный ряд сходится.

Если ряд сходится неравномерно, каждый раз необходимо проверять допустимость применяемой операции.

Обычно, равномерная сходимость ряда доказывается пут¸м нахождения мажоранты, прич¸м, мажорантой может быть функциональный, равномерно сходящийся ряд с положительными членами.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

14

Степенным рядом называется ряд степенных функций

где x0 – некоторое фиксированное значение аргумента.

Очевидно, что ряд(9) может быть преобразован в ряд (8) заменой

переменных y=x¡x0.

Будем рассматривать ряд (8). Все полученные результаты переносятся и на ряд (9) указанной заменой переменных.

Теорема Абеля

1.Если ряд (8) сходится, в точке x1 то он абсолютно сходится для всех x, удовлетворяющих строгому неравенству jxj < jx1j.

2.Если ряд расходится в точке x2, то он расходится для всех x, удовлетворяющих неравенству jxj > jx2j.

Доказательство: Первая часть теоремы доказывается следующим обра-

Вторая часть теоремы доказывается от противного (Докажите!) Следствие 1 Область сходимости степенного ряда (8) представляет интервал (¡R; R), симметрично расположенный относительно начала координат. Число R называется радиусом сходимости.

Следствие доказывается сокращением, например, делением пополам расстояния между точками сходимости и расходимости.

Для ряда (9) область сходимости – интервал (x0¡R; x0+R). Следствие 2 Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке, находящемся внутри интервала сходимости.

Это следствие вытекает из того факта, что ряд модулей, соответствующий значению x на краю интервала сходимости, является мажорантой.

15

Радиус сходимости R можно определить по формуле:

исследовать сходимость рядов (8) или (9) отдельно.

Пример 10.Определить интервал сходимости ряда n=1 n (x ¡ 5)n.

Решение: an=2n ; x0=5, n

Ряд Тейлора для функции y = f(x) представляет степенной ряд, который получается, если в формуле Тейлора число членов увеличивать до бесконечности:

при этом остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю. Согласно общей теории степенных рядов, ряд Тейлора сходится в некотором интервале, симметрично расположенном относительно точки x0.

Ряд Маклорена – это частный случай ряда Тейлора для x0=0:

f(x) = X1 f(k)(0)xk:

k!

k=0

Как видно из выражения для остаточного члена формулы Тейлора, которая рассматривалась в первом семестре, при использовании частичных сумм ряда для аппроксимации f(x), точность аппроксимации при удалении x от x0 ухудшается.

Неодинаковая точность приближения конечной суммой является недостатком ряда Тейлора. Достоинством – относительная простота вычисления нескольких первых его членов.

16

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Отличный от используемого при выводе формулы и ряда Тейлора подход используется для получения ряда Фурье и его обобщений. Этот подход позволяет получать приближ¸нные выражения для функций не в окрестностях отдельных точек, а в целых областях. Он основан на среднеквадратичной аппроксимации (когда в качестве критерия точности аппроксимации используется минимум среднеквадратичной ошибки).

Пусть функция y = f(x) на отрезке [a; b] аппроксимируется выраже-

нием

Xn

k=1

где 'k(x) - известные функции, ck – постоянные коэффициенты. Средний квадрат ошибки аппроксимации выражается интегралом

Коэффициенты ck выбираются из условия минимума среднеквадратичной ошибки (12).

Для их определения можно применить стандартную процедуру, состоящую в применении необходимых условий оптимальности (равенства нулю частных производных).

Дифференцируя (12) по ck и приравнивая производные нулю, после простых преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения оптимальных значений коэффициентов ck:

l = 1; 2; : : : n

Система (13) решается особенно просто (распадается на n независимых уравнений, если функции 'k(x) образуют ортогональную систему функций, для которой выполняются условия ортогональности

17

Очевидно, при k = l такой интеграл представляет положительное число, обозначим его через d2k:

При выполнении (14) и (15) система (13) имеет вид

После подстановки оптимальных значений коэффициентов ck в выражение для критерия (12) и выполнения алгебраических операций можно получить оптимальное значение критерия:

Поскольку среднеквадратичная ошибка не может быть отрицательной, из этого соотношения следует неравенство Бесселя:

Система ортогональных функций f'k(x)g называется полной, если для всех функций рассматриваемого класса ошибка Emin обращается в ноль, и неравенство Бесселя обращается в равенство, которое называется равенством Парсеваля

Обычно, для выполнения равенства Парсеваля для практически интересного класса функций система ортогональных функций содержит бесконечное число членов, и разложение (11) является рядом.

В случае, когда 'k(x) – ортогональная система функций, выражения для коэффициентов ck можно получить другим, более простым способом.

18

где

k = 0; 1; 2; : : :

Ряд Фурье, как легко заметить, представляет периодическую функцию периода 2l Поэтому, он приближает функцию f(x) на интервале(¡l; l). Вне этого интервала значения функции f(x) и ряда , как правило, отличаются.

Существует и широко используется на практике очень полезная физическая интерпретация ряда Фурье: любая функция на интервале (¡l; l) представляется суммой гармонических (синусоидальных и косинусои-

дальных функций) различных, кратных частот ¼kl ; k = 0; 1; : : : .

Коэффициенты ak, bk задают спектр сигнала: амплитуды его частотных составляющих.

Если использовать математический аппарат комплексных чисел и функций комплексного переменного, многие выкладки существенно упрощаются. Этим обстоятельством объясняется использование комплексных чисел в механике, физике, электротехнике и других науках.

Часто удобнее использовать ряд Фурье в комплексной форме. На основании формулы Эйлера

eiz = cos z + i sin z

периодические составляющие ряда Фурье можно представить в виде:

Подставляя в эти выражения формулы (22), для коэффициентов ak и bk, получаем:

20