математика

где Ci теперь не постоянные, а функции независимого аргумента x, подлежащие определению в результате подстановки этого выражения в неоднородное уравнение.

При подстановке его надо дифференцировать n раз. После каждого дифференцирования, кроме последнего, суммы членов, зависящих от производных Ci0(x) приравниваются нулю. В результате для производных получается система n линейных алгебраических уравнений

C10 y1(x) + C20 y2(x) + : : : Cn0 yn(x) = 0; C10 y10 (x) + C20 y20 (x) + : : : Cn0 yn0 (x) = 0;

...

C10 y1(n¡1)(x) + C20 y2(n¡1)(x) + : : : Cn0 yn(n¡1)(x) = f(x):

Решая эту систему, получаем выражения для производных Ci0(x), интегрируя которые можно найти функции Ci(x) и, следовательно, общее решение неоднородного уравнения.

Реализация универсального метода связана со сравнительно громоздкими вычислениями. Поэтому, на практике используется метод, применимый в случае, когда коэффициенты дифференциального уравнения – постоянные, а функция f(x) имеет специальный вид. Допустимые правые части и структура искомого решения приводятся в таблице:

Если в правой части дифференциального уравнения стоят несколько функций, то по свойству линейных систем можно найти решение уравнения для каждой из функций, а потом, решения сложить.

Иногда, а именно, когда в правой части уравнения стоит решение однородного уравнения, этот способ может не сработать. В этом случае необходимо полученное с помощью таблицы выражение для решения помножить на x в соответствующей степени, равной степени соответствующего корня характеристического уравнения.

В общем случае для специального вида правой части

f(x) = e®x (Pm(x) cos ¯x + Qn sin ¯x)

41

решение заданного дифференциального уравнения записывается следующим образом:

где Pl(x) и Ql(x) – многочлены степени l = max(m; n) с неопредел¸нными

коэффициентами; k – кратность корня характеристического уравнения ¸ = ® + i¯. Если ® + i¯ не является корнем характеристического уравнения, то k=0 и вид решения можно брать из таблицы.

Пример 17.Требуется найти общее решение неоднородного уравнения

y00 + 3y0 + 2y = ex:

Ранее было получено общее решение однородного уравнения:

Для нахождения решения неоднородного уравнения используем метод вариации произвольных постоянных. Решение будем искать в виде

y = C1(x)e¡x + C2(x)e¡2x:

Дифференцируя это выражение, получаем:

y0 = C10 (x)e¡x + C20 (x)e¡2x ¡ C1e¡x ¡ 2C2e¡2x:

Положим

C10 (x)e¡x + C20 (x)e¡2x = 0;

тогда

y0 = ¡C1e¡x ¡ 2C2e¡2x:

Дифференцируя, получим вторую производную:

y00 = ¡C10 e¡x ¡ 2C20 e¡2x + C1e¡x + 4C2e¡2x:

Подставляя выражения для y, y0, y00 в решаемое уравнение, получим

¡C10 e¡x ¡ 2C20 e¡2x + C1e¡x + 4C2e¡2x ¡ 3C1e¡x ¡ 6C2e¡2x+

+2C1e¡x + 2C2e¡2x = ex;

или

¡C10 e¡x ¡ 2C20 e¡2x = ex:

Вместе с ранее полученным соотношением оно образует систему двух линейных уравнений для определения C10 и C20 :

¡C01e¡x ¡ 2C20 e¡2x = ex; C01e¡x + C20 e¡2x = 0;

42

решая которую, получаем:

C01 = e2x; C02 = ¡e3x;

откуда получается:

C1 = 12e2x + D1;

C2 = ¡13e3x + D2;

где D1 и D2 – произвольные постоянные. Подставляя эти выражения в формулу для решения, получаем общее решение неоднородного уравнения:

y = e2x + D1e¡x ¡ e3x + D2e¡2x = e6x + D1e¡x + D2e¡2x:

Решение неоднородного уравнения можно получить значительно проще. Согласно таблице подстановок, его надо искать в виде y = Aex. Подставляя это выражение в неоднородное уравнение, получим

Aex + 3Aex + 2Aex = ex;

Откуда получается A = 1=6,

y = ex :

6

Добавляя к полученному частному решению неоднородного уравнения общее решение однородного, окончательно получаем

y = e6x + 1e¡x + 2e¡2x;

что совпадает с ранее полученным решением.

Пример 18.Требуется найти общее решение неоднородного уравнения

y00 + 3y0 + 2y = e¡x:

Общее решение однородного уравнения, соответствующего этому уравнению, равно:

y = C1e¡x + C2e¡2x:

Ищем решение неоднородного уравнения в виде y = Ae¡x. В результате подстановки этого решения в уравнение, получаем:

Ae¡x ¡ 3Ae¡x + 2Ae¡x = e¡x;

и коэффициент A найти не уда¸тся, поскольку в левой части полученного соотношения все члены сокращаются. Объясняется это тем, что правая часть

43

решаемого уравнения является решением однородного уравнения. Поэтому будем искать решение в виде y = xAe¡x. Подставляя новое выражение в решение, получаем:

A(¡2 + x)e¡x + 3A(1 ¡ x)e¡x + 2Axe¡x = e¡x;

Откуда получается A = 1, а общее решение неоднородного уравнения равно

y = C1e¡x + C2e¡2x + xe¡x:

44

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ

45

Таблица 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

46

Таблица 2

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

47

Таблица 3

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

48

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

49

Задание 1. Исследовать сходимость рядов:

50