1 сем матем

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

А.А.ГОРСКИЙ, И.Г.КОЛПАКОВА

ПОСОБИЕ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ для студентов-заочников

(1 курс, 1 семестр)

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Утверждено в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом МГУДТ

МГУДТ 2006

1

УДК 519

Г70

Работа рассмотрена на заседании кафедры высшей математики и рекомендована к печати.

Г70 Горский А.А., Колпакова И.Г. Пособие по курсу математики для студентов-заочников (1 курс, 1 семестр): Учебное пособие/ Горский А.А. и др.-ИИЦ МГУДТ. 2006 - с.

В пособии кратко изложен теоретический материал и приложены практические задания для заочников, изучающих курс математики в первом семестре первого курса обучения.

УДК 519

°c Московский государственный университет дизайна

и технологии, 2006

2

Алгебра матриц

Матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица чисел вида

0 1

am1 am2 : : : amn

где A – обозначение матрицы, aij – элемент матрицы, находящийся в строке с номером i и столбце с номером j. Написанная выше матрица содержит m строк и n столбцов.

Размерность матрицы – (m £ n) задается двумя числами: числом строк и числом столбцов.

Особое значение имеют квадратные матрицы, число строк которых равно числу столбцов. Для таких матриц размерность обычно указывается одним числом – n, равным числу строк или столбцов, n - порядок квадратной матрицы.

Член aij - общий член матрицы. Конкретный член матрицы задается конкретным выбором индексов i и j.

Иногда матрицу обозначают так:

A = (aij);

имеет 3 строки и 2 столбца.

Специальные типы матриц

1.Матрица строка

(a1a2 : : : am):

3

3.Нулевая матрица – матрица, все элементы которой – нули. 4.Диагональная матрица – квадратная матрица, все элементы кото-

рой, не лежащие на главной диагонали, (проходящей через верхний левый и нижний правый элементы) равны нулю

01

00 : : : dn

5.Единичная матрица In размерности n – диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице

Обозначение операции суммирования

В случае, когда приходится записывать операцию сложения нескольких членов, удобно применять короткую запись:

Xk=n

ak = a1 + a2 + : : : + an:

k=1

Часто используются упрощенные обозначения операции сложения:

там, где количество складываемых элементов известно.

Обозначение суммирования применяется во многих случаях и позволяет существенно сократить записи. Например, сумму всех членов матрицы размерности (m £ n) можно записать следующими способами:

Последние два соотношения описывают выполнение операции суммирования двумя способами:

4

Xm ÃXn !

aij – вначале суммируются элементы по строкам,

aij – вначале суммируются элементы по столбцам,

j=1 i=1

а затем результаты складываются.

Определители

an1 an2 : : : ann

существует число, называемое определителем(детерминантом), для которого используется обозначение

По определению, определитель вычисляется следующим образом:

X

det A = a1j1 a2j2 : : : anjn (¡1)t(j1;j2;:::jn) (1) j1;:::jn

Эта запись требует объяснения. Определитель равен сумме всевозможных произведений n элементов матрицы, взятых таким образом, что никакие два элемента произведения не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Каждое слагаемое в сумме берется со знаком плюс или минус. Правило выбора знака – следующее.

В члене a1j1 : : : anjn вторые индексы образуют последовательность j1; : : : jn, которая может быть получена из последовательности первых индексов 1; : : : ; n некоторым количеством попарных перестановок чисел, t(j1; : : : jn) – число этих перестановок. Если t(j1; : : : jn) четно, член входит со знаком “+”, если нечетно – со знаком “-”.

5

Формула (1) на практике не используется. Для вычисления определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков применяются формулы

данного определителя к сумме определителей низших порядков в соответствие с описанными ниже свойствами определителей.

Свойства определителей

Указанные ниже свойства легко выводятся из формулы (1).

1.Если строка (столбец) определителя состоит из нулей, определитель равен нулю.

2.Если поменять местами две строки (столбца) определителя, он поменяет знак.

3.Если у определителя две одинаковые строки (два одинаковых столбца), он равен нулю.

Действительно, при перестановке одинаковых строк, согласно свойству 2 определитель должен поменять знак, но, так как строки одинаковые, – определитель не изменяется. Единственное число, которое не меняется при перемене знака – это нуль.

4.Если элементы одной строки (столбца) определителя умножить на постоянное число, определитель умножается на это число.

5.Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

6.При транспонировании матрицы (замене строк столбцами и столбцов строками) определитель не меняется.

7.Если некоторая строка (столбец) состоит из суммы двух строк (столбцов), определитель равен сумме соответствующих определителей

6

(формула написана для случая первой строки)

8.Если к элементам какой-либо строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на постоянное число, определитель не изменится.

Это свойство используется для обращения отдельных элементов определителя в ноль.

Перед описанием следующего свойства нужно ввести новые понятия. Минор – определитель, образованный частью элементов исходного

определителя.

Если из определителя порядка n исключить k строк и k столбцов, оставшиеся образуют определитель порядка n ¡ k. Такие определители называют минорами. Наиболее часто используют миноры порядка n ¡1, полученные исключением одной строки и одного столбца. Будем обозначать минор, соответствующий элементу aij (исключается i-тая строка и j-тый столбец) через Mij.

Алгебраическое дополнение Aij = (¡1)i+jMij – это минор, взятый

сопределенным знаком в соответствие с множителем (¡1)i+j.

9.Определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Если вычислять определитель разложением по элементам i-той строки,получится формула:

Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Xn

j=1

7

С помощью формулы (2) вычисление порядка n сводится к вычислению n определителей порядка n ¡ 1. Если предварительно, используя свойство 8, часть элементов строки (столбца) сделать равными нулю, число определителей порядка n ¡ 1 в формуле (2) уменьшается.

можно посчитать по формуле расч¸та определителей третьего порядка:

det A = 1 ¢ 2 ¢ 2 + 2 ¢ 1 ¢ 1 + 2 ¢ 1 ¢ 1 ¡ 1 ¢ 2 ¢ 1 ¡ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¡ 1 ¢ 1 ¢ 1

строке, по которой разлагается определитель все элементы кроме одного были равны нулю. Для этого из второго столбца вычтем первый, помноженный на два, а из третьего столбца вычтем первый:

В результате, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению только одного определителя второго порядка.

Операции с матрицами

1.Умножение матрицы на число – это умножение всех элементов матрицы на число:

B = ¸A; это bij = ¸aij:

2.Транспонирование матрицы состоит в замене строк столбцами и наоборот. В результате из матрицы A размерности (m £ n) получается матрица AT размерности (n £ m).

3.Сумма матриц

Суммировать можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой двух матриц называется матрица, элементы которой представляют сумму соответствующих элементов обеих матриц.

4.Произведение матриц

8

Не всякие две матрицы можно перемножать: для того чтобы можно было перемножить две матрицы, надо чтобы число столбцов первой матрицы было равно числу строк второй.

Произведением матрицы A размерности (m £ p) и матрицы B размерности (p £ n) называется матрица C размерности (m £ n)

C = AB;

элементы которой cij определяются по формулам

Xp

cij = aikbkj: k=1

Говорят, что элемент cij матрицы C представляет произведение i -той строки матрицы A на j-тый столбец матрицы B, где под произведением понимают сумму произведений отдельных элементов.

В общем случае операция произведения матриц некоммутативна:

AB =6 BA:

Если для конкретных матриц A и B выполняется соотношение AB = BA, эти матрицы называются коммутирующими.

Произведение BA не существует (ограничение по порядку).

5.Обратная матрица

Матрица A¡1 называется обратной к матрице A, если выполняется

соотношение

A¡1A = AA¡1 = In:

Обратная матрица позволяет ввести для матриц операцию, аналог деления. Действительно, для обычных чисел операцию деления числа a на число b можно трактовать как умножение a на обратное к b число

1=b.

Обратная матрица определена только для квадратных матриц, и то не для всех. Матрицы, определитель которых равен нулю, обратных не имеют (аналог того, что число 0 не имеет обратного).

9

Один из способов вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов.

1.Вычислить определитель матрицы. Если он равен нулю, обратной матрицы нет.

2.Транспонировать матрицу.

3.Заменить каждый элемент матрицы AT его алгебраическим дополнением.

4.Разделить все элементы полученной матрицы на определитель. Очевидно, что порядок выполнения операций 2 и 3 можно поменять.

Пример 5. Вычислим обратную для матрицы

1.Определитель матрицы det A = ¡3.

2.Транспонированная матрица равна:

Для того, чтобы не писать матрицу с дробными коэффициентами обратная матрица A¡1 записана в виде матрицы алгебраических дополнений, помноженной на постоянный множитель 1=(¡3).

Проверьте, что для полученной обратной матрицы A¡1 выполняется соотношение A¡1A=I3, где I3 – единичная матрица третьего порядка.

10