1 сем матем

Рис.4

Векторы

В школьных курсах вектор определяется как направленный отрезок. Удобно задавать векторы их координатами. Координаты вектора представляют проекции вектора на оси координат. Координаты вектора совпадают с координатами точки конца вектора, если начало вектора поместить в начало координат,

a = (ax; ay; az):

Это определение устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами и точками пространства: каждой точке соответствует вектор, исходящий из начала координат и кончающийся в этой точке.

Используя координатное представление, вектор можно определить как:

–одно число в одномерном пространстве (на прямой),

–два числа в двумерном пространстве (на плоскости),

–три числа в трехмерном пространстве (обычном пространстве), Во всех случаях числа берутся в определенном порядке!

Такое определение допускает дальнейшее обобщение:

n-мерным вектором называется совокупность n чисел (координат),

взятых в определенном порядке.

При таком определении вектор можно рассматривать как частный случай матрицы (когда она имеет только один столбец, или одну строку).

Можно считать, что прямоугольная система координат в трехмерном пространстве образуется тремя осями, направленными вдоль трех взаимно перпендикулярных векторов. Говорят, что эти векторы образуют базис системы координат.

21

Часто, ради удобства, векторы базиса берут имеющими единичную длину.

Используются различные обозначения векторов базиса:

i; j; k или e1; e2; e3.

Запись a = (ax; ay; az) отражает формальное определение трехмерного вектора, как набора трех чисел.

Запись a = axi + ayj + azk отражает представление этого вектора как суммы векторов проекций.

Векторы базиса в системе координат этого базиса имеют координаты: i = (1; 0; 0); j = (0; 1; 0); k = (0; 0; 1).

В n-мерном пространстве также можно формально определить векторы базиса, задав их координаты по формулам

ek = (0; 0; : : : ; 1; : : : 0) k = 1; : : : n:

В векторе ek k-тая координата равна единице, а остальные координаты

– нули.

Операции с векторами

Для векторов введены операции сложения, вычитания, умножения на число и несколько разных операций умножения вектора на вектор. Сложение векторов(Рис.5)

a

b

c

Рис.5

В координатном представлении сложение определяется как соответствующая покоординатная операция

a + b = (ax + bx; ay + by; az + bx)

22

Вычитание векторов выполняется вычитанием координат. Операция вычитания также изображена на Рис.5.

На рисунке вектор c равняется сумме векторов a и b, а вектор b равен разности векторов a и .

Эти операции определены для векторов любой размерности. Скалярное произведение

В двумерном и трехмерном пространстве скалярное произведение определяется как число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

(a; b) = jajjbj cos ':

(a; b) – обозначение скалярного произведения. Решая соответствующую вычислительную задачу, можно получить алгебраическое определение скалярного произведения

Это определение обобщается на случай векторов в n-мерном пространстве:

где a = (a1; a2; : : : an); b = (b1; b2; : : : bn).

Скалярное произведение позволяет вычислять угол между двумя векторами. Поскольку скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора (см. формулу (11)), из этой формулы получа-

Откуда следует ' = ¼=4.

Эта же формула позволяет вычислить косинус “угла” между двумя n-мерными векторами.

Из (13) следует условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов: их скалярное произведение равно нулю.

23

Векторное произведение Векторное произведение определено только для трехмерных векто-

ров. Векторное произведение двух векторов a и b представляет вектор c = a£b, (“a£b” – обозначение векторного произведения), обладающий следующими свойствами.

Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b и синуса угла между ними

Вектор c перпендикулярен векторам a и b и направлен таким образом, чтобы векторы a; b; c образовывали правую тройку: если смотреть с конца вектора c, для совмещения вектора a с вектором b его надо вращать против часовой стрелки (Рис.6).

c

b

α

a

Рис.6

Упражнение: показать, что a £ b = ¡a £ b.

Непосредственным подсчетом устанавливается символьная формула для вычисления векторного произведения, как определителя третьего порядка

где i; j; k – единичные векторы базиса. Определитель в (15) раскладывается по элементам первой строки

a £ b = (aybz ¡ azby)i + (azbx ¡ axbz)j + (axby ¡ aybx)k;

24

т.е. вектор c = a £ b имеет координаты

c = (axbz ¡ azby; azbx ¡ axbz; axby ¡ aybx):

Пример 11. Вычислить векторное произведение векторов

Упражнение: покажите и объясните, почему векторное произведение вектора на себя всегда равно нулю.

Смешанное произведение Смешанное произведение определено только для трехмерных векто-

ров. Смешанное произведение трех векторов a; b; c равно (a £ b; c) и

Упражнение: Докажите, что модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a; b; c.

Основы аналитической геометрии

Геометрические объекты можно определять как геометрические места точек,удовлетворяющих некоторым условиям. В этом случае, геометрические объекты описываются уравнениями.

Например, сфера, это геометрическое место точек, равноудаленных от центра. Сфера радиуса r с центром в начале координат получается из условия, что точка с текущими координатами x; y; z находится на расстоянии r от начала координат:

x2 + y2 + z2 = r2

Это позволяет заменить манипулирование с геометрическими объектами алгебраическими выкладками. Например, точки пересечения объектов определяются как решения систем уравнений, полученных объединением уравнений отдельных объектов.

Аналитическая геометрия занимается простейшими геометрическими объектами: прямыми и плоскостями, а также кривыми и поверхностями 2-го порядка, которые определены ниже.

25

Прямая на плоскости

Уравнение прямой, выражаемое через тангенс угла наклона

Уравнение y = kx + b представляет уравнение прямой, пересекающей ось Oy в точке с координатами (0; b) и с тангенсом угла наклона к оси Ox равным k.

Таким уравнением нельзя задать прямые, параллельные оси y (для них угол наклона ' = 90o и tg ' не определен.

Общее уравнение прямой

Левую часть соотношения (17) можно трактовать как скалярное произведение векторов N = (A; B) и l = (x¡x0; y¡y0). Поскольку скалярное произведение, судя по (17) равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Но вектор l параллелен прямой, т.к. он образован двумя точками, лежащими на этой прямой. Отсюда следует общий вывод:

Вектор N = (A; B) перпендикулярен прямой (16) и (17). Уравнение прямой в отрезках

xa + yb = 1

Эта прямая отсекает на осях координат Ox и Oy отрезки длины a и b соответственно.

Нормализованное уравнение прямой Уравнение вида (16) называется нормализованным, если

вектор N = (A; B) является единичным. Пусть A = cos ' , B = sin ' (тогда, очевидно, уравнение нормализовано), уравнение (16) в этом случае может быть записано в виде

Величина d имеет геометрический смысл: модуль d равен расстоянию от начала координат до прямой. Это видно из Рис.7. Согласно чертежу,

расстояние ½ от начала координат до прямой равно скалярному произ-

¡¡!

ведению векторов N(A; B) и OM(x; y) т.е. равно

cos ®x + sin ®y = d

26

Рис.7

Расстояние от точки до прямой

Определим формулу для расстояния от точки P (x0; y0) до прямой (18). Из Рис.8 видно, что это расстояние l равно

l = jQCj = jQOj ¡ jSOj:

¡!

Но jQOj = j(N; OP )j = cos ®x0 + sin ®y0. Отсюда:

¡!

jOSj = cos ®x0 + sin ®y0 ¡ d:

Вывод: расстояние от заданной точки до прямой равно модулю выражения, полученного из левой части нормализованного уравнения прямой подстановкой координат точки.

Пример 12. Найти расстояние от точки P (1; 1) до прямой x + y = 1: Нормализованное уравнение прямой имеет вид

Подставляя в него координаты точки P , получаем:

1 l = p2:

27

Рис.8

Угол между двумя прямыми (Рис.9)

Рис.9

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

то, поскольку k1 = tg '1; k2 = tg '2, то

28

Если прямые заданы общими уравнениями

то угол можно определить через скалярное произведение векторов N1(A1; B1)

и N2(A2; B2),

(N1; N2)

cos ® = p(N1; N1)p(N2; N2):

Упражнение: Найти угол между прямыми x + y = 1 и x ¡ y = 1.

Ответ: ® = 90±

Определение пересечения прямых Точка пересечения двух прямых получается как решение системы

двух линейных уравнений

Если определитель системы (19) не равен нулю, система имеет единственное решение; прямые пересекаются.

Если определитель равен нулю, прямые параллельны и, либо общих точек не имеют, либо все точки прямых являются общими для обеих прямых. У системы уравнений либо нет решений, либо решений бесконечное число.

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости

или (21). Это доказывается также, как было доказано для прямой на плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках a; b; c

xa + yb + zc = 1

29

Нормализованное уравнение плоскости получается из (20) или (21) делением на pA2 + B2 + C2.

Уравнение плоскости называется нормализованным, если вектор N(A; B; C) – единичный.

Расстояние от точки до плоскости Как и в случае прямой на плоскости, для определения расстояния от

точки P (x0; y0; z0) до плоскости (20) надо:

полученной величины равен искомому расстоянию.

Пример 13. Найти расстояние от точки P (1; 1; 1) до плоскости x + y + z ¡

1 = 0.

Нормализованное управление плоскости имеет вид

Подставляя в него координаты точки P , получаем: l = 2=p3.

Угол между двумя плоскостями

N1(A1; B1; C1) и N2(A2; B2; C2) и косинус этого угла вычисляется через скалярное произведение

cos ® = (N1; N2) : p p

(N1; N1) (N2; N2)

Упражнение: Найти угол между плоскостями z = 1 и x + z = 1. Ответ: cos ® = 1=p2; ® = 45± (постройте чертеж!).

Уравнение гиперплоскости в n-мерном пространстве

Xn

Akxk + Bk = 0

k=1

где (x1; x2; : : : xn) – координаты n-мерного пространства. Гиперплоскость является прямым обобщением понятий прямой на

плоскости и плоскости в пространстве.

30