Добавил:

AD Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

TM_Lectures_part_I_03

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

804.96 Кб

Скачать

☆

Лекция 3 (ТМ, часть I)

Естественная форма задания движения (ЕФД)

Необходимые определения и понятия

ЕФД. – один из способов введения системы отсчета на основе траектории движения точки, а так же позволяет изучить особенности скорости и ускорения.

При этом нам необходимо знать траекторию точки заранее – s=s(t), где s - длина сегмента траектории.

Мы полагаем, что r r (s) , где r можно выразить через s, s – обобщенная координата

(абстрактно).

Рассмотрим в качестве аргумента радиус-вектора точки длину дуги траектории	s ,
отсчитывая ее от начальной точки, соответствующей моменту времени t t0 ,	в

направлении движения точки. Сама длина дуги задается, таким образом, как функция времени. Движение точки описывается векторной и скалярной функциями:

		s s(t) .	(1)
r	r (s),
Описание вполне однозначно: каждому		t соответствует	только одно определенное

значение s , так как s является монотонно возрастающей (положительной) функцией t

Векторная функция r (s) позволяет определить в каждой точке траектории так называемые

естественные координаты, орты которых образуют естественный трехгранник. Построим

			dx		dy		dz
		dr
эти орты. Касательный вектор	n (s)			,		,		в данной точке траектории,

		ds	ds		ds		ds

очевидно, является единичным вектором, так как

ds O(ds2 ) , где ds - элемент дуги,

dr - приращение радиус-вектора, т. е. стягивающая ds хорда. Поэтому имеем

dy 2

dz 2

(2)

(3)

Дифференцируя (22) по s , получим

0 ,

(4)

2 n


							dn
откуда следует,				что	вектор				ортогонален вектору	n	(см. рис. 1). Но
откуда следует,				что	вектор			ds	ортогонален вектору	n	(см. рис. 1). Но
								ds

	dn	lim	n (s s) n		lim	n		. Из рисунка видно, что
	ds	lim	s		lim	s		. Из рисунка видно, что
	ds	s 0	s		s 0	s


dn	lim	n	lim		d	,
ds	lim	s	lim	s	ds	,

так как n

- единичный вектор. Представим вектор

в виде

(5)

k (s)n


где n - единичный вектор, направление которого совпадает с вектором	dn	, а функция
k1 (s) d ds называется кривизной кривой в данной точке. Вектор		называется
	n(s)	называется

вектором главной нормали, а угол , равный углу между двумя соседними касательными к траектории, называется углом смежности. Кривизна характеризует меру отклонения


кривой от прямой в данной точке. Через векторы				n	и n проведем плоскость, которую
назовем соприкасающейся плоскостью. В этой плоскости
назовем соприкасающейся плоскостью. В этой плоскости							в направлении вектора n
отложим отрезок длины R(s) 1/ k1 (s) (рис.			4.1).		Если	теперь в		соприкасающейся
плоскости построить окружность радиуса R(s)			с центром в точке C ,					то она будет иметь
касание второго порядка с траекторией1 в точке				B .	Эту окружность называют кругом
кривизны, а ее радиус - радиусом кривизны.
					z
							nb	n
						A		n
						A
						r	B	n
						r		n
								y
			x
Рис. 1			x		Рис. 2
Рис. 1					Рис. 2

Третий единичный орт построим с помощью векторного произведения n									и n :

1 Понятие касания просто дать на языке множеств: пусть M и m -два множества с
общей точкой О. Множество M имеет в m касание порядка 1, если

	( X )			0 ,

	( XO)	X О
	( XO)

где ( X ) - расстояние точки X множества M от m :

			.
nb	n n		.	(6)

Это вектор бинормали. Векторы n , n ,		nb	очевидно, образуют правую тройку взаимно
ортогональных векторов, которыми			определяются направления	естественных

(натуральных) координатных осей в том месте траектории, где в данный момент времени

находится движущаяся точка (рис. 2). Проекции векторов n

и nb

на декартовы оси имеют

вид

R(x , y , z ),

R( y z

z y )nx

R(z x x z )ny R(x y y x )nz ,

где R

. Штрихом мы обозначили производную по s .

x 2 y 2 z 2

Парами векторов определяются плоскости: соприкасающаяся (n , n) , нормальная

(n, nb ) и спрямляющая (nb

, n ) . Эти плоскости образуют так называемый естественный

трехгранник Френе.

Изучение изменения направления касательного вектора n

привело нас к понятию

кривизны кривой. Новое понятие можно ввести, если рассмотреть изменение направления соприкасающейся плоскости или, что тоже самое, бинормали. Так мы приходим к понятию кручения кривой. Для этого найдем

dnb

n n

С другой стороны, так как

1 , то

dnb

0 ,

поэтому из (28.1), (29.1) заключаем, что

dnb

ортогонален векторам

коллинеарен с n :

2 s n .

(7)

	(8)

n и nb . Следовательно,

(9)

Здесь k2 s	1	называют кручением кривой, а					T s	- радиусом кручения кривой в
Здесь k2 s	T s	называют кручением кривой, а					T s	- радиусом кручения кривой в
	T s

некоторой точке кривой. Так как n - единичный вектор, то

			1	dnb	lim		,	(10)
			T s	ds	lim	s	,	(10)
			T s	ds	s 0	s

где - угол между двумя соседними бинормалями. Из (30.1) видно, что если k2 s 0

всюду, то бинормаль не меняет своего направления, а кривая является плоской. Иными словами, кручение является мерой отклонения кривой от плоской кривой. Нетрудно показать, что Т является псевдоскаляром.

Найдем dn ds

			, то
. Так как n n nb

	dn	dnb
			n	nb
	ds
		ds


dn	nb	n	,	(11)
	T	R

ds


где мы учли (26.1) и (30.1), а также соотношения n	n nb ,		nb	n n .

Следовательно, единичные векторы естественных координатных осей изменяются вдоль траектории согласно формулам

dnb

(12)

Это формулы Френе.

Найдем теперь проекции скорости и ускорения на оси естественных координат:


		dr
v	r			s sn		,
v	r	ds		s sn		,


			d
w r				sn	sn
w r				sn	sn
			dt
			dt

			s2
	dn
s2		sn		n .

	ds		R

Мы видим, что проекция скорости на касательную к траектории равна 2

v r n s .

(13)

(14)

Вектор ускорения имеет две проекции: проекцию на касательную, равную s v , и

проекцию на главную нормаль v2 R , где R - радиус кривизны в рассматриваемой точке.

Заметим, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости: его проекция на бинормаль всегда равна нулю.

В заключение приведем без вывода формулу для кручения кривой. Ее нетрудно

получить, умножая скалярно правую и левую части (30.1) на вектор n . После несложных преобразований получим

	k2 s R		r	r	r ,
		2
откуда видно, что k2 s является псевдоскалярной						величиной, так как k2 s
пропорциональна скалярному	произведению		полярного			вектора	r и аксиального


2 Скалярное произведение векторов a и b мы обозначаем как ab или просто ab , векторное

произведение двух векторов a и b обозначается ab .

(псевдовектора) вектора . r r

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
26.01.2024343.17 Кб5TM_Lectures_part_I_01.pdf
#
26.01.2024467.74 Кб5TM_Lectures_part_I_02.pdf
#
26.01.2024804.96 Кб4TM_Lectures_part_I_03.pdf
#
26.01.2024527.17 Кб3TM_Lectures_part_I_04.pdf
#
26.01.2024325.46 Кб2TM_Lectures_part_I_05.pdf
#
26.01.2024208.62 Кб4TM_Lectures_part_I_06.pdf
#
26.01.2024307.78 Кб4TM_Lectures_part_I_07.pdf
#
26.01.2024854.51 Кб2TM_Lectures_part_I_08.pdf