Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

156

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

572.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

	х			=		1

		1		11
x
		2		=	2		;

				11
x			3	= 0;

x4 = 0.

8.Общее решение однородной линейной системы

Рассмотрим однородную линейную систему m уравнений с n

неизвестными

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0
			+ ... + a2n xn = 0
a21x1 + a22 x2			+ ... + a2n xn = 0
.............................................. .					(*)

a	x + a	x	+ ... + a	x = 0
m1	1	m2 2	mn	n

Рассматриваемая система получается из системы, рассмотренной в п. 7

путем обнуления столбца свободных членов. Следовательно, для нее также

имеет место теорема Кронекера-Капелли.

Но так как расширенная матрица A B для системы однородных уравнений получается из матрицы A системы добавлением столбца,

состоящего из одних нулей, то ранг матрицы A всегда равен рангу расширенной матрицы A B , т.е. однородная система всегда совместна.

Возможны два случая:

1. r = n , тогда однородная система имеет единственное нулевое

решение x1 = x2 = K = xn = 0 , называемое тривиальным. Действительно, все определители Aj , получаемые из главного определителя системы путем замены j -го столбца на столбец свободных членов, будут равны нулю, и по

формулам Крамера имеем x	= x		= K = x		=	0	= 0 .
формулам Крамера имеем x	= x	2	= K = x	n	=		= 0 .
1		2		n		A
						A
			42

2.Ранг матрицы системы r( A) < n . Предположим, что в базисный

минор входят коэффициенты первых r уравнений. Тогда оставшиеся m − r

уравнений являются линейными комбинациями, т.е. следствиями предыдущих. Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений

a x + a x					2	+ K + a		x	n	= 0
	11	1	12		2	1n			n
a21x1 + a22 x2						+ K + a2n xn				= 0
		................................								.
		................................
a	r1	x + a	r 2	x	2	+ K + a	rn	x	n	= 0
	r1	1	r 2		2		rn		n

Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:

a11x1 + a12 x2 + K + a1r xr

= −a1,r+1xr+1 − K − a1n xn

x + a

+ K + a

= −a

2,r+1

r +1

− K − a

21 1

(**)

................................

x + a

− K − a

r 2

+ K + a

= −a

r ,r+1

r+1

r1 1

Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных x1 = x2 = K = xr , выражающее их через остальные неизвестные

(xr+1 ,K, xn ) , которым можно придавать любые произвольные значения.

Таким образом, однородная система при r( A) < n является неопределенной.

Подводя итог, заметим, что необходимым и достаточным условием нетривиальных решений однородной системы является условие r( A) < n , где

A – матрица коэффициентов при неизвестных переменных, n – число неизвестных. Для систем n уравнений с n неизвестными это равносильно утверждению, что определитель такой системы равен нулю.

Напомним, что неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы, называются базисными неизвестными, а

остальные – свободными неизвестными.

Покажем, что число линейно независимых решений системы (*) равно n − r . Действительно, рассмотрим столбцы вида

			1

~	=		0	,
X r +1	=	K		,

			0

			0				0

~	=		1	~	=		0	,
X r +2	=	K		, …, X n	=	K		,

			0				1

содержащие по n − r чисел. Очевидно, что эти столбцы линейно независимы,

а любой другой столбец той же размерности является их линейной комбинацией.

Пусть эти столбцы задают значения свободных неизвестных системы

(*). Тогда базисные неизвестные будут однозначно определяться для выбранных свободных неизвестных из системы (**) , и все решения системы,

соответствующие наборам свободных неизвестных, образуют n − r линейно независимых столбцов, т.е. n − r линейно независимых решений системы (*).

Любые n − r линейно независимых решений системы (*) называются

ее фундаментальной системой решений.

Свойство 1. Сумма решений системы (*) является ее решением.

Свойство 2. Столбец решений (*), умноженный на любое число, тоже есть решение этой системы.

Следовательно, любая линейная комбинация фундаментальной системы решений системы (*) является ее решением.

										x1 + x2 + x3 + x4 = 0
								2x − 3x				2	+ 4x	3	+ 2x		4	= 0
										1		2		3			4	.
	Пример 32. Решить систему								3x − 2x				+ 5x + 3x					.
									3x − 2x			2	+ 5x + 3x				4	= 0
										1		2		3			4
										x − 4x		2	+ 3x	3	+ x	4	= 0
										1		2		3		4
	Решение.
								1		1	1		1
										− 3
Запишем матрицу системы							2			− 3	4		2	Приведем матрицу к виду
Запишем матрицу системы							A =			− 2			.	Приведем матрицу к виду
								3		− 2	5		3
										− 4	3
							1			− 4	3		1
	1	1	1	1
		− 5
0		− 5	2	0		Очевидно, r( A)				< n ,	тогда система имеет бесконечное
A =	0	0	0	0	.	Очевидно, r( A)				< n ,	тогда система имеет бесконечное
	0	0	0	0
		0	0
0		0	0	0

множество решений. Решаем систему двух уравнений х1 + х2 + х3 + х4 = 0 .
																				− 5х2 + х3 = 0
Пусть	x1 ,		x2		- базисные	неизвестные,								а				x3 ,		x4		-	свободные
																					х	= −		6		х		− х
																					х	= −				х		− х	4
																					1		5		3				4
неизвестные.	Тогда выразим из системы уравнений х1 и х2 :																						5		1				.
																							х2 =		1		х3

																										5
Найдем фундаментальную систему решения.
Пусть x		= 1,	x		= 0 . Тогда x	= −	6	,	x		=	1	.
Пусть x	3	= 1,	x	4	= 0 . Тогда x	= −		,	x	2	=		.
	3			4	1	5				2	5
						5					5
Пусть x3 = 0 , x4 = 1. Тогда x1 = −1,									x2 = 0 .
															−		6
																							1
																	5						1
																	5
Получена фундаментальная система решений: X1 =															1				,	X 2	=	0 .
Получена фундаментальная система решений: X1 =																			,	X 2	=	0 .
																5
															1								0
															1
																							1
																0
						45

Приложение

Задания по вариантам

Задание 1. Вычислить определитель матрицы по правилу треугольника, по правилу Саррюса и разложением по строке или столбцу.

Вариант	Исходные данные					Вариант	Исходные данные

1	4 2				−3	2	2 2				3
		−3 2
					2				4 4		−1
			4 3						3 2
					−1						−3
3	3 2				3	4	2 3				3
			2	4	5				5	4	2
				−7					−6 3
	2				1						1
5	3 3				2	6	4 4				1
			4 5		2				3 2		−2
			−6 3					−3 2
					1						3
7		4		3	4	8		−		5	−
									2		1

		5 1			−2				3 2		4
	−3 −2				0		5 4				4
9	−3			2	−1	10	3 −1				−3
		2		2	3			2		4	2
				−3
	4				4		2 4				3
11	3 5				1	12	3 2				1

			2 4		−7				3 4		3
	3 2				2		2 5				−6
13	2 2				1	14	1 −2				3

			3	5	3			4		2	2
	3 4				−6		4 3				−3
15	4 −2				0	16	−1 4				4
	3 1				−2				5 2		4
									−2 3
	4 2				−3						5
17	−1 3				4	18	−3 2				3
			2 2		−3				−1 4
											4
		−3 2			4		3 2				2

	1			7	2							−6
19				−			20			1	3
			5	4	2					2	4	5

	3			2	3			3			3	2
21			1	3	6		22					−3
					−					3	2
			2	5 4					−2 2			3

	2			3	3			1			4	4
23	0			−2 −3			24	4 4				5
		−2		1 2						4 2		3
									−1 5
	4			3 4								−2
25	4			−3	4		26	3 4				2
		3		2	2					2	4	2
		−1							−3		−1
				2 −3								3
27		2		2 3			28	−6 5				2
		−7		4 2						3 4		3

		1		5	3			1			2	3
29	−6			4 3			30	−3 3				4
			3	5	3					2	2	4

	1			2 2				3 −2				1
Задание 2. Вычислить определитель.

Вариант	Исходные данные						Вариант	Исходные данные

1	3			2 3			2	2 3				3
			2	4	5					5	4	2
										−6 3
	2			−7 1								1
3	3			3 2			4	4 4				1
			4	5 2						3 2		−2
			−6
				3 1				−3 2				3
5	4			3 4			6	−2 5				−1
		2		1 −2						3 2		4
		−3
				−2 0				5 4				4
						48

7	−3 2				−1		8	3 −1			−3

		2		2	3				2	4	2
	4 −3				4			2 4			3
9	3 5				1		10	3 2			1
			2	4	−7			3		4	3

	3 2				2			2 5			−6
11	2 2				1		12	1 −2			3

			3	5	3				4	2	2
	3 4				−6			4 3			−3
13	4 −2				0		14	−1 4			4

	3 1				−2				5 2		4
	4 2				−3				−2 3		5
15	−1 3				4		16	−3 2			3
			2 2		−3			−1 4			4

	−3 2				4			3 2			2
17	1 −7				2		18	1 3			−6
	5			4	2			2		4	5

	3			2	3			3		3	2
					−6				3	2	3
19			1	3			20				−

			2 5		4			−2		2	3
		2		3	3			1		4	4
21	0 −2				−3		22	4 4			5
		−2 1			2				4 2		3
									−1 5
	4			3	4						−2
23	4 −3				4		24	3 4			2
		3		2	2				2	4	2
		−1 2								−1
					−3			−3			3
25	2 2				3		26	−6 5			2
			−7 4		2				3 4		3

	1			5	3			1		2	3
						49

27	−6	4	3	28	−3	3 4

	3	5	2		2	2	4
	1	2	2		3	−2 1
29	4	2	−3	30	2	2	3

	−3	2	2		4	4	−1
	4	3	−1		3	2	−3

Задание 3. Вычислить определитель.

Вариант	Исходные данные									Вариант	Исходные данные

		3					2	−5	2				4				3	1	2
		3					2	−5	2				4				3	1	2
1			−2 1 2 3							2			2 5 2 3
					5 −3 1 −4										−3 −5 1 3
			−1 −1 4 −2													2 2 −3 −4

					−1		3	1	2						3		2	−5	2
					−1		3	1	2						3		2	−5	2
3				−5 5 2 3						4					−1 1 2 3
				−2 −5 1 3												4 −3 1 −4
					2 2 −3 −4											3 −1 4 −2

					3		−3	4	2							3	−1	4	2
					3		−3	4	2							3	−1	4	2
5					2 1 −3 −3					6						2 −8 −3 −3
					4 −4 −2 1											4 −1 −2 1
					2 3 −3 −2											2 −1 −3 −2

						2 3 3 −4										2 3 −4 −2
						2 3 3 −4										2 3 −4 −2
7						1 2 1 −3				8					−5 2 1 4
						3	5	−5	2					2			−1	4	3
						4 2 −3 2										3 −2 5 −1

					2 3 −4 −2											2 3 3 −4
					2 3 −4 −2											2 3 3 −4
9			−5 2 1						4	10				−1 −5 −2 2
					2 1 −3 −1											3 4 −5 2
			3				−1	4	3			4					2	−3	2

2 −3 1 −2

−2 4 −1 −1

11		4 −3 −2 −3				12					−4 1 −3 5
		−1 −8 −1 −1										3 2 1 −2
	3		2	4	2				2					−5	2	3

		−2 4 3 −1									−4 −3 2 2
		−2 4 3 −1									−4 −3 2 2
13		−4 1 4 5						14				3 1 −5 −3
	3		2	−1	−2					3				2	5	2
	2		−5	2	3					2				1	3	4

	−4 2 2 2											−2 −3 3				2
	−4 2 2 2											−2 −3 3				2
15	3		−2 −5 −3					16					1 −2 −4			4
	3		−5 4 2									−3 −3 1				2
	2		−1	3	4							2		4	−3	3

		−1 5 −2 3											2 −3 2 4
		−1 5 −2 3											2 −3 2 4
17		−1 −3 1 2						18					2 −5 5 3
	4		1	2	−5								−3	1	2	1
	−2 −4 3 2												−4 3 3 2

		2 −2 −5 4										3 4 −1 3
		2 −2 −5 4										3 4 −1 3
19		2 −5 5 3				20					−1 −3 1 2
		−3 1		2	1				4					1	2	−5
		−4 3 3 2									−2 −4 3 2

21		−2 −3 −1 2				22					−1 5 −2 3
21		−2 −3 −1 2				22					−1 5 −2 3
		1 −2 −1 4										3 4 −1 2
		−3 −3 −8 2										4 1 2 −5
		2 4 −1 3									−2 −4 3 2

23	−4 −3 2 2						24		−2 4 −1 3
23	−4 −3 2 2						24		−2 4 −1 3
		3 1 −5 −3							−4 1 −3 4
	3		2	5	2					−3				2	1	−1
	2		1	3	4				2					−5	2	3


25		2 −3 1 −2						26				2 3 3 −4
25		2 −3 1 −2						26				2 3 3 −4
		4 −3 −2 −3										1 2 1 −3
	−3 1 −4 3											3 5 −5 2
	3 2 4 2										−1 −5 −2 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.2024564.5 Кб0151.pdf
#
09.01.2024566.14 Кб0152.pdf
#
09.01.2024568.5 Кб0153.pdf
#
09.01.2024571.36 Кб0154.pdf
#
09.01.2024571.44 Кб0155.pdf
#
09.01.2024572.61 Кб0156.pdf
#
09.01.2024573.3 Кб0157.pdf
#
09.01.2024574.25 Кб0158.pdf
#
09.01.2024575.64 Кб0159.pdf
#
09.01.2024229.39 Кб016.pdf
#
09.01.2024576.16 Кб0160.pdf