Линейные цепи постоянного тока

Основной задачей расчета электрической цепи является ее анализ, который заключается в определении токов, напряжений и мощностей по заданным их сопротивлениям и источникам электрической энергии. Для линейных цепей эти задачи имеют однозначное решение, которое получают в результате составления и решения системы алгебраических уравнений согласно законам Кирхгофа, Ома и Джоуля-Ленца.

В цепи постоянного тока ;.

Т.о. при протекании в цепи постоянного тока, его величину определяют только резистивные элементы.

Эквивалентные преобразования пассивных цепей

1. Последовательное соединение – по 2-му закону Кирхгофа.

, , .

2. Параллельное соединение – по 1-му закону Кирхгофа.

, , .

3. Смешанное соединение

. Формула токового делителя: , .

4. Преобразование из «треугольника» в «звезду» и обратно.

соединение «звездой»	соединение «треугольником»

Преобразование называется эквивалентным, при котором напряжения и токи в остальной части схемы сохраняются неизменными.

Формулы преобразований могут быть получены, используя законы Ома и Кирхгоффа:

; ; .

; ; .

Расчет цепей по законам Кирхгофа

Обычно заданными являются величины и направления ЭДС источников напряжения и внутренних токов источников тока, а также зна­чения всех внутренних и внешних сопротивлений или проводимостей. Определению подлежат токи и напряжения ветвей. Поэтому число неизвестных равно числу р ветвей схемы и, следовательно, столько же независимых уравнений требуется составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для цепи с q узлами, будут независимыми лишь для узлов, так как урав­нение для последнего узла будет следствием предыдущих. Следовательно, по второму закону Кирхгофа требуется составитьнезависимых уравнений.

Пример составления системы уравнений.

Изображенная на рисунке цепь имеет ветвей иузла. Следовательно, необходимо иметь систему из шести уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа требуется составитьуравнения, а по второму законууравнения.

Решая систему уравнений любым известным из алгебры способом, находят все неизвестные токи ветвей. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление тока противоположно выбранному направлению.

Достоинством рассмотренного метода является его общность, а недостатком – громоздкость алгебраических преобразований при отыскании неизвестных. Поэтому зачастую применяют специальные методы расчета сложных цепей, которые сводятся либо к упрощению схемы (методы наложения и эквивалентного источника энергии), либо к уменьшению числа неизвестных (методы контурных токов и узловых напряжений).

Метод контурных токов

При расчете сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением уравнений составленных по второму закону Кирхгофа для токов, замыкающихся по независимым контурам схемы, число которых определяют из выражения . Направление контурного тока следует выбирать по направлению тока в ветви, входящей только в этот контур.

При составлении уравнений следует пользоваться следующими правилами:

1. В левой части уравнений записывают алгебраическую сумму всех падений напряжения на элементах (резисторах), от протекания по ним контурного тока, а также падения напряжения на тех элементах, через которые протекают контурные токи смежных контуров. Причем, эти падения напряжения записывают со знаком плюс, если направления смежных контурных токов совпадает с контурным током рассматриваемого контура и со знаком минус – если не совпадает.

2. В правой части уравнений записывают все ЭДС, входящие в рассматриваемый контур со знаком плюс, если их направление совпадает с направлением контурного тока и со знаком минус, если не совпадает.

3. Если схема содержит источники тока, то токи источников образуют свои замкнутые контуры связи, причем в эти контуры не должны входить ветви, по которым выбраны направления контурных токов. Если вызванные током источника падения напряжения на элементах совпадают с контурным током, то в правой части уравнений они записываются со знаком минус, если не совпадает – со знаком плюс.

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую источники ЭДС и тока. Требуется найти токи во всех ветвях.

Для приведенной схемы , т.е. необходимо составить систему из двух уравнений. Направление контурного токаI_K1 выбираем по направлению тока I₁ первой ветви, а контурного тока I_K4 выбираем по направлению тока I₄ четвертой ветви.

где

I_K1 = I₁ и I_K4 = I₄.

Тогда

; ;или.

Если направление контурного тока выберем по направлению тока, например, в третьей ветви I_K3 = I₃, то система уравнений примет вид:

Или в матричной форме:

.