Комплексный метод расчета электрических цепей

Существенное упрощение достигается изображением синусо­идальных функций времени комплексными числами.

Существует несколько форм представления комплексного числа:

- алгебраическая форма: ;

- показательная (или экспоненциальная) форма: ;

- тригонометрическая форма: .

Все эти формы связаны между собой, в частности, модуль числа , аргумент.

Для геометрического изображения используют прямоугольную систему координат, в которой по горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые: ; ; .

Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употреб­ляют также обозначения: ,.

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопря­женными.

Если , то сопряженное ему комплексное число запишется в форме. При этом соблюдается равенство:.

Полезно помнить, что

Пусть имеем синусоидально изменяющийся ток с начальной фазой φ_i .

Его можно представить в форме .

Таким образом, синусоидальный ток рассматривают как комплексное изображение синусоидального тока, которое при заданной частоте ω определяется двумя ве­личинами – амплитудой и начальной фазой:

.

Здесь комплексное число называюткомплексной амплитудой тока.

Рассмотрим теперь выражение для производной по времени от синусоидального тока:

.

Изображение производной будет иметь вид:

.

Таким образом, операция дифференцирования действительной функции заменяется умножением ее комплексного изображения на .

Рассмотрим изображение интеграла от сину­соидальной функции

.

Искомое изображение интеграла будет иметь вид:

.

Следовательно, операция интегрирования действительной функции заменяется делением ее комплексного изображения на .

Таким образом, комплексный метод позволяет заменить интегро-дифференциальное уравнение, содержащее функции времени, алгебраическим уравнением с их комплексными изображениями.

Алгоритм метода:

1. Замена заданных функций времени их комплексными изображениями.

2. Замена всех уравнений, составленных по закону Кирхгофа, алгебраическими уравнениями для комплексных изображений.

3. Нахождение комплексных изображений искомых функций.

4. Переход к оригиналам этих функций.

В качестве примера рассмотрим цепь с последовательно соединенными элементами R,L и C, к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону . Требуется найти ток в цепи:.

1) Заменяем функции времени их изображениями: ,.

2) Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

Полученное уравнение является алгебраическим. Все слагаемые имеют общий множитель . Окончательно получаем уравнение в комплексных амплитудах:

.

3) Из последнего уравнения легко определяется комплексная ам­плитуда тока:

,

где – комплексное сопротивление цепи.

4) Зная выражение для комплексной амплитуды тока в виде , можем, используя обратный переход, записать выражение для мгновенного тока:.

Обычно рассматривают действующие значения токов и напряжений. Так как действующие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в раз, то обычно вместо комплексных амплитуд рассмат­ривают комплексные действующие величины:,.