Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

1, z =

x , z = 0 ;

=1;

−

=1, z = ±c ;

=1,

=1;

x2 + y2 + z2 = a2 , x2 + y2 = ax ;

z2 = b(a − x), x2 + y2 = ax ;

x + y + z2 =1, x = y = z = 0 ;

x2 + z2 = a2 , y2 + z2 =a2 .

19.11. Вычислить

объем

тела, ограниченного

поверхностями

x2 + y2 = ax ,

x − z = 0 , x + z = 0 , рассмотрев сечения, перпендикулярные Ох.

19.12. Найти объем чердака, основание которого есть прямоугольник со сторонами a и b, верхнее ребро равно c, а высота h.

19.13. Найти объем параболоида вращения, основание которого S, а высота равна H.

19.14. Найти объем тела, полученного при вращении круга радиусом a относительно прямой, лежащей в плоскости круга и отстоящей от его центра на расстоянии b (b > a).

19.15. Через фокус F (c, 0) гиперболы x2 − y2 =1 проведена хорда, перпенди- a2 b2

кулярная оси абсцисс. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг этой хорды отсекаемого ею сегмента гиперболы.

19.16. Через фокус F (c, 0) эллипса x2 + y2 =1 проведена хорда, перпендику- a2 b2

лярная оси абсцисс. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг этой хорды отсекаемого ею сегмента эллипса (рассмотреть случаи, когда сегмент больше полуэллипса и когда он меньше полуэллипса).

§20. Несобственные интегралы

Если функция f (x) интегрируема на каждом конечном сегменте [a, b], то,

по определению, полагают: +∞∫	f (x)dx = limb→∞	∫b	f (x)dx . Если функция f (x) не ог-
a		a

раничена в окрестности точки b и интегрируема на каждом сегменте [a, b −ε]

(ε > 0), то принимают: ∫b	f (x)dx = εlim→+0 b∫−ε	f (x)dx . Если пределы существуют, то
a	a

соответствующий интеграл называется сходящимся, в противном случае – рас-

ходящимся.

Признак сравнения 1. Пусть f (x) ≤ F (x) при x ≥ a . Если +∞∫ F (x)dx сходит-

ся, то интеграл +∞∫ f (x)dx сходится.

Признак сравнения 2. a) Если при x →+∞ функция f (x)≥0 является беско-

нечно малой порядка p > 0 по сравнению с 1 x , то интеграл +∞∫ f (x)dx сходит-

ся при p >1 и расходится при p ≤1 .

б) Если функция f (x)≥0 определена и непрерывна в промежутке a ≤ x < b и

является бесконечно большой порядка р по сравнению с 1 (b − x) при x → b − 0 ,

то интеграл ∫b f (x)dx сходится при p <1 и расходится при p ≥1 .

20.1. Вычислить несобственные интегралы:

	+∞	dx
1)	∫1		;
		x + x3
	+∞	dx
3)	∫e			;
		xln2 x
	+∞	dx
5)	−∞∫				;
		x2 + 2x +5

	+∞	1		e−1x dx ;
2)	∫1
		x2
	+∞	arctg1+ x2xdx ;
4)	∫1
	+∞	arctg x
6)	∫							dx ;
		(	+ x		2	)	3 2
	0
		1

+∞∫

;

−1

∫1 ln xdx ;

11)

∫1

;

1− x

−1

13)

+∞∫

;

(

)

−∞

+ x +1

+∞ x2 +1

15)

∫0

dx ;

x4 +1

17)

∫2

;

−4x +

π 2

19)

∫ ln sin xdx ;

+∞

21)

∫

;

1+ x

+ x

23)

+∞∫e−ax cosbx dx

(a > 0);

20.2. Исследовать сходимость интегралов:

	+∞	x2dx
1)	∫0	x2dx					;
1)	∫0	x4 − x2 +1					;
3)	∫2	dx	;
3)	∫2		;
	0 ln x
5)	+∞ arctg ax				dx			(a ≠ 0);
5)	∫	x		n	dx			(a ≠ 0);
	0	x
7)	+∞∫	xmarctg x				dx			(n ≥ 0);
7)	+∞∫	n				dx			(n ≥ 0);
	0	2 + x
9)	+∞∫	sin2 x dx ;
	0	x

+∞

x2e−

∫

dx ;

+∞

10)

−∞∫

;

1+ x2

+∞

12)

∫2

;

x2 + x −2

+∞

14)

∫0

;

1+ x3

16)

∫1

;

0 (2 − x)

1 − x

18) ∫1 3x3

2 +2

2 dx ;

−1

20)

∫2

;

0 x

ln x

+∞

x ln x

22)

∫0

dx ;

+ x2

)

(

24)

+∞∫e−ax sin bx dx (a > 0).

∫1

;

0 x

+∞

dx (n ≥ 0);

4) ∫0

1 + xn

+∞ ln(1+ x)

∫

dx ;

+∞

cos1+ xaxn

(n ≥ 0);

∫0

ln x

10)

∫0

dx ;

1− x2

π 2

ln sin x dx ;

+∞

11)

∫

12)

∫

;

+ x

13)

+∞∫ xp−1e−xdx;

14)

∫1

x p lnq 1 dx ;

+∞

+∞ arctg x

15)

∫

dx ;

16)

∫

dx ;

1 + x

+∞ ln 1+ x

)

+∞

17)

∫

(

;

18)

∫

sinqx

dx ;

+∞ xp sin x

+∞ sin x p

19)

∫0

dx ;

20)

∫0

xq +1 dx ;

1+ xq

+∞

21)

∫0

;

22)

∫0

;

xq + x p

xp lnq x

23)

∫1

xp lnq x dx ;

24)

∫1

dx .

1− x

+∞

∞

20.3. Вычислить интеграл ∫0

xdx

, если известно, что ∑n=1

= π6 .

ex +1

20.4. Пусть интеграл

+∞∫ f (x)dx

сходится и равен

J . Доказать, что интеграл

−∞

+∞

−∞∫

f x −

dx также сходится и равен J .

20.5. Исследовать на сходимость интегралы:

+∞

xdx

∫0

;

1+ x4 cos2 x

1+ x2 cos2 x

§21. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов

∞
Выражение вида a1 + a2 +... + an +... = ∑an , где ai		+ называется положи-
n=1

тельным числовым рядом. Числа a1 , a2 ,..., an ,... называются членами ряда, число an – общим членом ряда.

Суммы	S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , …, S = a1 + a2 + ... + an называются частичными
суммами,	а Sn	– n - частичной суммой ряда. Если lim Sn существует и равен
		n→∞

числу S, то ряд называется сходящимся, а S – его суммой, в противном случае (если предел не существует или бесконечен) ряд называется расходящимся.

∞

Необходимый признак сходимости ряда. Если числовой ряд ∑an сходится,

n=1

то lim a	n	= 0 .
n→∞	n
		∞	∞
Признак сравнения 1. Пусть даны два ряда ∑an			и ∑bn , если при n ≥ n0
		n=1	n=1

∞

выполняется неравенство 0 ≤ an ≤ bn , то 1) из сходимости ряда ∑bn следует

n=1

сходимость ряда

∞

ряда ∑bn .

n=1

∞	∞
∑an ; 2) из расходимости ряда	∑an следует расходимость
n=1	n=1

Признак сравнения 2. Если существует предел lim an = h , где h – число от-

n→∞ bn

личное от нуля, то оба ряда ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Признак Даламбера. Если a	n	> 0 (n =1,2,...) и lim an+1		= d , то а) при d <1 ряд
	n		n→∞ a
			n
сходится и б) при d >1 расходится.
Признак Коши. Если an ≥ 0		(n =1, 2,...)	и lim n an = k , то а) при		k <1 ряд
			n→∞

сходится и б) при k >1 расходится.

Интегральный признак Коши. Если f (x) (x ≥1) – неотрицательная невоз-

∞

растающая непрерывная функция, то ряд ∑f (n) сходится или расходится вме-

n=1

сте с интегралом +∞∫ f (x)dx .

21.1.Для каждого ряда найти Sn , доказать сходимость ряда, пользуясь определением сходимости, найти сумму ряда:

∞

∑

;

∑

;

+ n

n=1

−1

∞

∑

;

∑

;

−3n − 2

+3n

n=1

∞

2n +1

∑

;

∑

;

+ 2n

n2 (n +1)

n=1

+3n

n=1

∞

∑

;

∑arctg

;

+ n +

n=1

∞

∑(

n − 2 − 2

n +1 + n );

10) ∑

n=1

+ 4n −3

21.2. С помощью необходимого признака сходимости ряда установить, какие из указанных рядов заведомо расходятся:

∞

∑n 0,001 ;

∑n 1,5 ;

n=1

∞

n +1

∞

2n +3

∑

;

4) ∑

;

2n +1

n +1

n=1

∞

n + 2 ;

∞

∑

;

n=1

n +1

n=1

∞

2nn ;

∞

∑

∑n2 sin

;

+ n +1

n=1

∞

n +1

∑

;

10) ∑

;

n=1

∞

n+n

11) ∑

;

12) ∑

n=1

21.3. Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость ряды:

∞

∑

;

1000n +1

n=1

∞

∑

;

n2 (1 + n)

n=1

∞

∑

;

n(n +

n=1

∞

n2 + 3n + 2

∑

;

+ n

n=1

∞

∑

;

n−1

n=1

n 5

∞

11) ∑

;

(n + 2)2

n=1

∞

13) ∑

;

n=1

∞

15) ∑

;

(ln n)

ln n

n=2

∞

n −1);

17) ∑( n −

n=1

∞

19) ∑narcsin

;

n=1

∞

∑

;

n=1

∞

∑

;

n +1

n=1

∞

∑

;

(n +

(

)

n=1

∞

3nα ;

∑sin

n=1

∞

10) ∑

;

n=1

∞

12) ∑

;

(

)

n=1

1 +

∞

14) ∑

;

ln n

n=2

∞

4+ 3n

16) ∑n

;

n=1

∞

(

n +1 −

n −1);

18) ∑

n=1

∞

20) ∑

ln (n +1)

n=1

4 n5

21.4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряды:

∞

∑

;

∑

;

(2n +1)!

n=1

∞

∑n tg

;

∑

22 ;

n+1

n=1

∞

(2n −1)!!

∞

∑

;

∑n2 sin

;

n=1

∞

∑

;

∑

;

(n +

n=1

1)!

n=1

∞

(nn!2)

(n!)

∑

;

10) ∑

n=1

(2n)!

21.5.Установить сходимость или расходимость указанных рядов с помощью признака Коши:

∞

∑

;

+1)

∑

;

n=1

2n +1

∞

n +1

∑arcsin

;

∑

;

n=1

2n −1

∞

;

∞

∑n=1

sin

∑ cos

n=1

21.6. Используя интегральный признак, исследовать на сходимость ряды:

∞

∑

;

n=2

n ln

∞

−

∑e

;

n=1

∞

∑

;

3n −2

n=1

∞

ln n +1

∑

;

n=1

n −1

∞

∑

;

n +1

n=1

	∞		1
2)	∑		1					;
2)	∑	n ln n ln ln n						;
	n=2	n ln n ln ln n
	∞		1
4)	∑		1				;
4)	∑	2n(2n −1)					;
	n=1	2n(2n −1)
	∞	ln (n +1)
6)	∑	ln (n +1)				;
6)	∑	2				;
	n=1	(n +1)
8)	∞		2 2			;
8)	∑		1+n3			;
	n=1		1+ n
	∞	ln (n +1)				− ln n
10) ∑									.
10) ∑			ln	2	n				.
	n=2		ln		n

21.7.Используя признаки сходимости, исследовать на сходимость следующие ряды:

∞

∑

sin

;

∑

;

(n +1)

n=2

n 1

∞

∑

;

∑ne−n ;

n −sin n

n=1

∞

∑

;

∑

ln n

;

+ 5

n=1

n=2

∞

2n −1

∞

∑

;

∑ln n

1 ;

n=1 (n +1)

n 1

∞

;

∞

;

∑arctgn

10) ∑(31 n −1)sin

n=1

− n

n=1


∞
11) ∑	3n +1		;

n=1		n!
∞				1	2
13) ∑7					;
		n ln cos
n=1				n

∞

15)

∑n10e− n ;

n=1

∞

17) ∑ln n ;

n=1

∞

n +5 n

19)

∑

;

n=1

3n −1

∞

21)

∑

;

n ln (n +1)

n=1

∞

n+1

23)

∑

;

−1)

(n +

n=1

1)!

∞

(2n −1)!!

25)

∑

;

n+1

n=1

(2n)!!

n 2

∞

27)

∑ cos

;

n=1

29)

∞

(−1)n

∑

ln 1 +

;

n=2

∞

nn sin

31) ∑

;

n=1

∞

33)

∑α−ln n ;

n=1

∞

(2n)!!

35)

∑

;

n=1

(2n −1)!! n

∞

37)

∑

;

n ln n +

ln3 n

n=1

∞

n +1

12)

∑ln

;

2n +5

n=1

∞

arcsin (1 n)

14)

∑

;

n=1

n +1 −

∞

ln n

16)

∑

;

n=2

∞

n + 2 −

n −2

18) ∑

;

3 n2

n=1

∞

arccos 1

20)

∑

;

n=1

∞

22)

∑

;

n(n +1)(n + 2)

n=1

∞

3 n

24)

∑

;

(2n −1)(

5 4 n −1)

n=1

∞

(2n)!

26)

∑

;

n!(n +1)!

n=1

∞

28)

∑sin

;

(3 +1 n)

n=1

∞

(n!)

30) ∑

;

5 18 47 ... (n

+ 2)

n=1

∞

n +1 −

n −1

32)

∑

;

n=1

n + 2

34)

∞

n ;

∑ln

n=1

∞

... (3n + 2)

36) ∑

sin

;

(2n +1)!

n=1

∞

sin n

38)

∑

ln ln (n +

n=1

21.8.Доказать каждое из следующих соотношений с помощью ряда, общим членом которого является данная функция:

1) lim an =0 ;

n→∞ n!

3) lim ( nn ) =0 ;

n→∞ 2n !

		∞	1
21.9. Вычислить сумму ряда ∑						.
			n(n +	1)2	n
		n=1
∞		1
21.10. Доказать, что ряд ∑			расходится.
	n	n
n=1		n

2)	lim	(2n)!		=0 ;
		an!
	n→∞
4)	lim	(n!)n		=0.
		nn	2
	n→∞

21.11. Сходятся ли следующие ряды:

∞

1) ∑

;

∑

ln n!

n=1 n

−ln n

n=1

21.12. Последовательность

{xn}

задается

соотношениями

x1 = a >1,

∞

xn+1 = xn

2 − xn +1 (n ≥1). Найти ∑

n=1 x

21.13. Найти:

π4

π8

π12

+...

12!

π4

π8

π12

+...

10!

14!

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
16.03.2015245.25 Кб47Matan.doc
#
16.03.20151.08 Mб69Matanaliz.pdf
#
16.03.2015295.48 Кб30Матан Лекции.pdf
#
16.03.20152.15 Mб189Учебник Математический Анализ Конев.pdf