Matanaliz
.pdf1) |
y =sin2 x ; |
2) |
y = cos x3 ; |
3) |
y =1 −sin x ; |
4) |
y = 2x2 . |
2.9. Исследовать на возрастание и убывание функции:
1) |
y = x +arctg x ; |
|
2) |
|
|
|
|
3x |
− |
π |
; |
||||
|
y = sin |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
3) |
y = |
|
1 |
|
, x ≠1 |
; |
4) |
y = |
|
|
1 |
|
. |
|
|
x3 |
−1 |
1 |
+cos2 x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10.Выяснить, какие из нижеследующих функций ограничены, а какие не ограничены на указанных промежутках. Для ограниченных сверху (снизу) функций найти точную верхнюю (нижнюю) грань:
1) |
f (x)= x2 + 2 на |
[−1;3] |
; |
|
||||
3) |
f (x)= tg2 x |
на |
– |
π |
; |
π |
|
; |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
2.11.Найти f (x), если:
1)f (x +1)= x2 −3x +2 ;
3) |
|
1 |
= x + |
1 + x |
2 |
; |
f |
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
2) |
y = tg x на |
– |
π |
; |
π |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
4) |
y = x + |
1 |
на |
|
1 |
|
;2 . |
|
||
x |
|
|||||||||
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
( |
|
x |
|
≥ 2); |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
f x + |
|
= x |
|
+ |
|
|
|
|
|||
|
x |
2 |
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) f x x+1 = x2 .
10
§3. Построение графиков функций
Основными элементарными функциями считаются: константа y = c , где c , степенная функция y = xα , показательная функция y = ax , a >0, a ≠1,
логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a ≠1, тригонометрические функции y =sin x , y = cos x , y = tg x , y =ctg x , обратные тригонометрические функции
y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x и y = arcctg x .
Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их композиций и арифметических операций.
Построение графика функции |
|
|
b |
+ D |
в общем случае сводит- |
y = Cf a x + |
|
||||
|
|
|
a |
|
|
ся к ряду преобразований (сдвиг, сжатие, отображение и т.д.) графика функции y = f (x).
Функция |
|
Преобразование, которое следует провести с графиком |
|||||||||||||
|
|
|
y = f (x) на плоскости хОу |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сдвиг вверх по оси Oy графика функции y = f (x) на А |
|||||||
f (x)+ A, |
A ≠ 0 |
||||||||||||||
единиц, если А > 0, и сдвиг вниз на |
|
A |
|
единиц, если А < 0 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Сдвиг вправо по оси Oх на а единиц, если а > 0, и сдвиг |
||||||||
f (x −a), |
a ≠ 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вниз на |
a |
единиц, если а < 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Растяжение вдоль оси Oy относительно оси Ох в k раз, |
|||||||
kf (x), k > 0 , |
k ≠1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
если k > 1, сжатие вдоль оси Оу в 1 k раз, если 0 < k <1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сжатие вдоль оси Oх относительно оси Оу в k раз, если |
|||||||
f (kx), k > 0 , |
k ≠1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k > 1, и ратяжение вдоль оси Ох в 1 k раз, если 0 < k <1 |
|||||||
−f (x) |
|
Симметричное отображение графика относительно оси Ох |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть графика, расположенная ниже оси Ох, симметрично |
|||||||
|
f (x) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
отражается относительно этой оси, остальная часть остает- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ся без изменения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f (−x) |
|
Симметричное отображение графика относительно оси Оу |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Стереть часть графика функции y = f (x), лежащую слева |
|||||||
|
f ( |
|
х |
|
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
от оси Оу; часть графика лежащего справа от оси Оу сим- |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
метрично отобразить относительно оси Оу, в область x < 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
3.1.Используя правило построения графика функции y = Af (x) по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:
1) |
y = −x2 ; |
2) |
y = −cos x ; |
|||||
3) |
y = |
1 |
tg x ; |
4) |
y = |
1 |
log |
x . |
|
4 |
|
|
|
2 |
1/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.Используя правило построения графика функции y = f (−x) по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:
1) |
y = log2 (−x); |
2) |
y = −x ; |
3) |
y = sin (−x); |
4) |
y =2−x ; |
5)y = 1 −2 x ; 6) y = ctg (−x).
3
3.3.Используя правило построения графика функции y = f (kx) (k ≠ 0) по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:
1) |
y = sin 2x ; |
2) |
y = cosπ x ; |
||||
3) |
y = log2 2 x ; |
4) |
y = ctg (−2x); |
||||
5) |
y = tg |
1 |
x ; |
6) |
y =sin |
x |
. |
|
|
||||||
|
4 |
|
|
π |
3.4.Используя правило построения графика функции y = f (x + a) (a ≠ 0) по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:
1) |
y =(x −2)2 ; |
|
|
2) |
y = 2 + x ; |
|||||
|
|
π |
|
|
|
y = |
1 |
|
|
|
3) |
y = cos x + |
|
|
; |
4) |
|
|
; |
||
3 |
x −3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
y = 21−x ; |
|
|
|
6) |
y = log1/ 3 (x +1). |
3.5.Используя правило построения графика функции y = f (ax +b) по графи-
ку функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:
12
1) |
y = log3 (2x + 3); |
2) |
y = 3 2 −3x ; |
|
|
||||||
|
y = |
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
3) |
|
|
|
; |
4) |
y = ctg |
2x + |
|
; |
||
1 |
−2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
5) |
y = 2x − x2 +4; |
6) |
y =sin x +cos x . |
|
3.6.Используя правило построения графика функции y = f (x)+ A по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:
1) |
y =1 +sin x ; |
2) |
y = 2 + log2 (1 + x); |
3) |
y = 2 − x ; |
4) |
y = x2 +4x +8 ; |
5) |
y =2 −3(x −1)2 ; |
6) |
y = tg x +1. |
3.7. Построить эскизы графиков следующих рациональных функций:
1) |
y = |
5x −1 |
; |
2) |
y = |
7x + 2 |
; |
|||
|
|
x |
||||||||
|
|
3x + 2 |
|
|
|
|
||||
3) |
y = − |
x + 2 |
; |
4) |
y = |
4 + x |
. |
|||
x +5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
3.8.Построить эскиз графиков следующих функций, используя преобразования графиков:
1) |
y = |
1 |
|
3x + |
π |
|
+1; |
||||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
y = arcctg |
|
|
|
1− x |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3x + |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) |
y = x − 4 + |
|
x − 2 |
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
7) |
y = |
|
1−3x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y = −2 tg 3πx −4π ; 6
4)y = 3cos 2x − π +1;
2
6) |
y = |
|
|
4 −5x+1 |
|
; |
|||||
|
|
||||||||||
8) |
y = |
|
|
2x +3 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
−1 |
3.9. Построить эскизы графиков обратных тригонометрических функций:
1) |
y =arcsin( |
2x +1); |
2) |
y =arccos( |
3x −2); |
|
||||||||||||||||
3) |
y = arcsin |
|
1 −5x |
; |
4) |
|
1 |
+3x |
; |
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
y = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
||||||
|
1+ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
−3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5) |
y = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
6) |
y = arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
7) |
y = arcsin |
|
|
|
|
|
; |
8) |
y = arccos |
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|||||||
9) |
y = |
1 |
|
|
|
|
; |
|
10) y = arcctg |
|
x |
+1 |
. |
|
|
||||
arctg |
|
x |
|
-1 |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10. Построить эскизы графиков сложных функций:
|
1 |
|
y =log1 (x2 + x); |
||
1) |
y = 2x ; |
2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3) |
y = 2x2 ; |
4) |
y =sin2 x ; |
||
5) |
y = 1 −sin2 x ; |
6) |
y =sin2 x +cos2 x ; |
||
7) |
y = 2sin x ; |
8) |
y =e−x2 +x ; |
||
9) |
y = x −sin x ; |
10) y = x2 cos x . |
3.11.Построить эскизы графиков кривых, заданных в полярной системе координат уравнениями:
1) r = 2ϕ;
3) r = cosϕ ;
5) r =sin 3ϕ;
7) r =ϕa ;
9)r2 = a2 cos 2ϕ ;
3.12.Построить эскизы графиков функций:
1)y = xsgn x ;
3) y = esgn x ;
5) y ={lg x};
7) y = x −[x].
2) r =sinϕ ;
4) r = cos 2ϕ ;
6) r = 2 ;
8) r = cos1ϕ ;
10) r =1 + 2cosϕ .
2) |
y = xsgn(sin x); |
4) |
y =sgn(lg x); |
6) |
y =[lg x]; |
3.13. Построить график функции y = cos(2arccos x).
14
§4. Числовые последовательности и теория пределов
Функция целочисленного аргумента называется последовательностью. Чис-
ло a называется пределом последовательности an (nlim→∞ an = a), если для любого положительного ε найдется такой номер N , что при n > N выполняется нера-
венство |
|
an −a |
|
|
|
<ε . |
|
называется бесконечно малой, если lim a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Последовательность a |
n |
n |
= 0 . Если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
||
lim a |
n |
= ∞, последовательность называется бесконечно большой. |
|
|
||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последовательность an |
называется: а) ограниченной, если существует c |
|||||||||||||
такая, что |
|
an |
|
< c , n = 1, 2,... ; б) монотонной, если an+1 ≤ an (или |
|
an+1 ≥ an ), |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
n =1, 2, … . |
|
|
|
|
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
4.1.Доказать, что последовательности, общий член которых имеет указанный ниже вид, монотонно возрастают:
|
1) |
a = n3 |
+ 2n ; |
|
|
2) |
a = |
|
|
n2 |
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 |
+10 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3) |
an =3 −arcsin |
|
1 |
; |
4) |
an = |
|
+ |
1 |
|
n |
|||||||
|
n2 |
+ 4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.2. |
Найти наибольшие члены последовательностей, имеющих общий член an : |
||||||||||||||||||
|
1) |
an = |
|
|
n |
|
; |
|
|
2) |
an = |
( |
39 )n |
; |
|||||
|
n |
3 |
+1000 |
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2n |
|
|
. |
|
|
3) |
an =sin 2 |
; |
|
|
|
|
4) |
an = |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
||||||||||||||
4.3. |
Последовательность |
{an} |
задается |
рекуррентным соотношением |
an+1 =3an −2an−1, n = 2, 3,… . Выразить {an} через a1 , a2 и n .
4.4.Найти формулу общего члена рекуррентной последовательности {an},
если an+1 =3an −2an−1, n = 2, 3,… .
4.5.Доказать, что последовательности являются бесконечно малыми:
15
1) |
x =(−1)n 1 |
; |
2) xn = (−1)n sin |
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
4.6. Доказать, пользуясь определением предела, равенства:
n π .
2
1) |
lim |
2n −3 |
= |
1 |
; |
||
4n +5 |
2 |
||||||
|
n→∞ |
|
|
||||
3) |
lim |
1 |
= 0 ; |
|
|
||
2 n |
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
4.7. Докажите следующие равенства:
2) |
lim |
(−1)n |
= 0 |
; |
||
n2 |
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
||
|
|
2n + (−1)n |
||||
4) |
lim |
|
|
|
=1. |
|
2n |
|
|
||||
|
n→∞ |
|
|
|
1) |
lim |
n |
= 0 ; |
2) |
lim nk |
|
= 0 |
, где k , a >1; |
|||||
n |
|
||||||||||||
|
n→∞ |
2 |
|
|
|
|
n→∞ an |
|
|
|
|||
3) |
lim |
|
n |
|
= 0 , где k , a >1; |
4) |
lim loga n |
=0 , где a > 0 ; |
|||||
|
1/ k |
|
|||||||||||
|
n→∞ an |
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
|
||||
5) |
lim |
2n |
= 0 ; |
6) |
lim |
an |
|
= 0 |
; |
||||
|
|
|
|||||||||||
|
n→∞ n! |
|
|
|
|
n→∞ n! |
|
|
|||||
7) |
lim n1/ n |
=1; |
8) |
lim |
|
|
1 |
= 0. |
|||||
(n!)1/ n |
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
4.8.Доказать, что последовательность с общим членом xn =3 +(−1)n не имеет предела.
4.9. Доказать, что lim |
5n +6 |
=5. Начиная с какого |
|
5n + 6 |
−5 |
|
не превосхо- |
||
n |
|
|
|||||||
n +1 |
n +1 |
||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
дит 0,01?
4.10.Пользуясь теоремой о пределе монотонной последовательности, доказать, что существуют пределы данных последовательностей:
1) |
x = 2n2 +1 ; |
|
|
|
|
|
|
2) |
xn =1+ |
1 |
+ |
1 |
|
+…+ |
1 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 32 |
|
|
|
|
|
n2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
x = |
1+ 1 |
+ |
|
1 |
|
+…+ |
1 |
; |
|
|
4) |
x = |
1+1+ |
1 |
+ |
1 |
|
+…+ |
1 |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n |
2 |
22 |
|
|
2n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2! 3! |
|
|
|
n! |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5) |
xn =1+ |
1 |
+ |
1 |
+…+ |
1 |
; |
6) |
x = |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
|
+…+ |
1 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 2 3 22 |
|
n 2n−1 |
|
|
n |
|
n +1 |
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
2n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.11.Найти пределы последовательностей, пользуясь теоремами о пределах суммы, произведения, частного последовательностей:
16
1) |
x = |
3 −n |
− |
3n2 + 2 |
; |
|
|
|
|
||||
|
n |
2n +1 |
|
4n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
3) |
x |
= |
(−1)n n |
|
|
n |
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
2n −1 n2 |
+ n +1 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
5) |
x |
= |
n2 |
+1 + |
n |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
3 n2 |
+ n − |
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4.12. Найти пределы:
1) lim n +1 ;
n→∞ n
3) |
lim |
(n +1)3 − (n −1)3 |
|
; |
|
|
||||||
(n +1)2 + (n −1)2 |
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|||||||
5) |
lim |
|
100n3 + 3n2 |
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
0,001n4 −100n3 +1 |
||||||||||
7) |
lim |
(2n +1)4 − (n −1)4 |
; |
|||||||||
|
n→∞ |
(2n +1)4 + (n −1)4 |
|
|
||||||||
9) |
lim |
3 n2 + n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11) lim |
|
|
n! |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)!−n! |
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
13) lim |
|
(n +2)!+(n +1)! |
; |
|
|
|||||||
|
(n +2)!−(n +1)! |
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
15) lim |
1 |
(1+2 +3 +... +n) ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n→∞ n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17) lim |
|
1 |
− 2 + 3 − 4 +... |
− 2n |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19) lim |
|
|
|
2 |
|
2 |
+... + (2n −3 |
1) |
2 |
|
; |
|
||||||
|
13 |
+ 33 |
|
|
|
|
||||||||||||
n→∞ |
n |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
21) lim |
|
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+... + |
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
2 |
3 |
|
n(n +1) |
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
2) |
x = |
2n |
|
cos |
n +1 |
; |
|
|
|
||||||
|
n |
2n2 |
−1 |
|
2n −1 |
||
|
|
|
4) xn =1(−n −n)2 ;
3n +1 3
6) xn = n + lg n + 2n . n2 + lg n − 2n
2) |
lim |
(n +1)2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
lim |
n3 −100n2 +1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
100n2 +15n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6) |
lim |
(n +1)4 − (n −1)4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n→∞ |
(n +1)4 + (n −1)4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8) |
lim |
|
3 n3 + 2n −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10) lim |
( |
n2 +1 + n)2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 n6 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12) lim |
(n +2)!+(n +1)! |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
(n +3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1+ 1 + 1 +…+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
14) lim |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ 1+ 1 + 1 +…+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
9 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16) lim |
|
1+ 2 +3 +... + n − n |
|
; |
|
|||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
18) lim |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
(n −31) |
2 |
|
; |
||||||||||||
|
13 + 23 +... |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
20) lim |
|
1 |
+ |
3 |
|
+… |
+ |
2n −1 |
|
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
22) limn→∞( |
(n2 +1)(n2 −4) − |
n4 −9 ); |
17
23) limn→∞ n(3 (n + 2)2 − 3 (n −3)2 );
25) lim n2 −2 |
1 |
n4 |
; |
|
|
|
|
|
|||
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −10 |
3n+1 |
|
|
|
|
||||||
27) lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
n→∞ n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
2n−n3 |
|
|
|
|
||
29) lim n3 |
+1 |
|
; |
|
|
|
|
||||
n→∞ n |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
− |
6n +7 |
|
|
−n+1 |
|||
31) lim |
3n |
|
|
|
|
; |
|||||
2 |
+ 20n −1 |
||||||||||
n→∞ |
3n |
|
|
|
|||||||
33) lim |
|
2 |
|
+3n −1 |
|
|
n2 |
|
|||
5n |
|
|
; |
||||||||
2 |
+3n +3 |
|
|||||||||
n→∞ 5n |
|
|
|
|
24) lim 2n +3 n+1 ; n→∞ 2n +1
26) lim n −1 n+2 ; n→∞ n +3
28) lim n −1 n2 ; |
|
|
|
|
|
|||
n→∞ n +1 |
|
|
|
|
|
|||
30) lim n3 +3 |
n +1 |
2n2 |
; |
|
|
|||
n→∞ |
n |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
−n2 |
|
|
|
32) lim n2 |
+ n +1 |
|
; |
|
||||
n→∞ n |
+ n −1 |
|
|
|
|
|
||
|
7n |
2 |
+18n −15 |
|
n+2 |
|||
34) lim |
|
. |
||||||
7n |
2 |
+11n +15 |
||||||
n→∞ |
|
|
4.13. Построить графики предельных функций:
|
f (x) = lim |
x +enx |
|
|
2) |
|
|
|
x |
n |
|
|
||||||
1) |
|
|
|
|
; |
|
f (x) = lim 1 |
+ |
|
|
|
, −∞ < x < +∞ ; |
||||||
|
|
nx |
|
|
n |
|||||||||||||
|
n→+∞ 1+e |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
|
|
1 |
|
|
|
< x <+∞; |
4) |
|
|
|
|
|
n |
x2 |
n |
||
f (x) =limn |
x + |
|
|
− |
x ,0 |
f (x) = lim n 1+ x |
|
+ |
|
, x ≥ 0 ; |
||||||||
n |
|
2 |
||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
f (x) =limarctg nx , −∞ < x < +∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.14. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
lim nsin (2πen!); |
|
|
2) |
lim sin2 π n2 |
+ n . |
|
|
||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.15. Найти предел последовательности, опреляемой следующими условиями:
x = 2 ; |
x = 2 + 1 |
; |
x |
= 2 + |
|
1 |
, n ≥ 2 . |
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
3 |
|
n+1 |
|
3 |
+1 xn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
18
§5. Предел функции одной переменной
Всякий интервал (a −δ;a +δ ), содержащий точку a , называется δ -окре-
стностью точки a . |
|
Число b называется пределом функции y = f (x) |
в точке x = a ( lim f (x) =b ), |
|
x→a |
если, каково бы ни было наперед заданное положительное число ε , существует такое число δ (ε )> 0 , что для любого x , отличного от a , содержащегося в
δ -окрестности точки |
a , выполняется неравенство |
|
f (x)−b |
|
<ε , иначе говоря, |
||||||||
|
|
||||||||||||
если выполнение неравенства 0 < |
|
x − a |
|
<δ влечет за собой выполнение нера- |
|||||||||
|
|
||||||||||||
венства |
|
f (x)−b |
|
<ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция y = f (x) называется бесконечно малой в окрестности точки x = a ,
если ее предел в этой точке равен нулю. |
|
|
|||
Пусть α (x) |
и β (x) |
две бесконечно малые функции. Если lim |
α(x) |
= c , то |
|
β (x) |
|||||
|
|
x→a |
|
||
при c ≠ 0 α (x) |
и β (x) |
называются бесконечно малыми одного порядка, при- |
чем если с =1, α (x) и β (x) называются эквивалентными бесконечно малыми;
если с = 0 , α (x) называется бесконечно малой высшего порядка по отношению к β (x), а β (x) бесконечно малой низшего порядка по отношению к α (x).
Основные эквивалентности (при x → 0 ): |
|
|
|
|||
1) |
sin x x ; |
2) |
1−cos x x2 |
2 ; |
3) |
tg x ~ x ; |
4) |
arcsin x x ; |
5) |
arctg x x ; |
|
6) |
ex −1 x ; |
7) |
ln (1 + x) x ; |
8) |
(1+ x)m −1 mx; |
9) |
ax −1 xln a . |
|
5.1. Пусть lim f (x)≠ 0 , а |
lim ϕ(x) не |
существует. |
Доказать, что |
|||
|
x → x0 |
x → x0 |
|
|
|
x→ x0 f (x)ϕ(x) не существует.
5.2.Пусть функция f (x) имеет предел в точке x0 , а функция ϕ (x) не имеет предела. Будут ли существовать пределы:lim
19