ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В.В. Конев
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ФормулаТейлора Функциинесколькихпеременных
Интегралы
Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета
Издательство Томского политехнического университета
2008
UDС 517
Конев В.В. Математический анализ. Учебное пособие. – Томск. Изд. ТПУ. 2008. – 123стр. Учебное пособие основано на курсе лекций, читаемых автором для студентов отделения элитного технического образования ТПУ, и включает в себя следующие разделы:
–Формула Тейлора
–Функции нескольких переменных
–Неопределенные интегралы
–Определенные интегралы
–Несобственные интегралы.
Наряду с изложением теоретического курса в пособии содержится большое число примеров и графических иллюстраций.
Рецензент: Арефьев К. П., профессор, доктор физ.-мат. наук.
©2003-2008 КОНЕВ В.В.
©2008 Томский политехнический университет
Оглавление
Глава 1 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
1.1. Формула Тейлора для многочлена ………………………………… |
6 |
1.2. Формула Тейлора для дифференцируемых функций ……………. |
7 |
1.3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ……. |
9 |
1.4. Приложения формулы Тейлора …………………………………… |
10 |
1.5. Примеры применения формулы Тейлора ………………………… |
11 |
1.6. Формулы приближенных вычислений …………………………… |
13 |
Глава 2 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2.1.Основные понятия ………………………………………………... 17
2.2.Пределы …………………………………………………………… 19
2.3. Непрерывность …………………………………………………… 21
2.4.Частные производные ……………………………………………. 22
2.5. Полные дифференциалы ………………………………………… 24
2.6.Дифференциалы высших порядков …………………………….. 25
2.7.Дифференцирование сложных функций ……………………….. 26
2.8. Дифференцирование неявных функций ………………………… 27
2.9.Геометрическая интерпретация частных производных ……….. 28
2.10.Формула Тейлора для функций нескольких переменных …….. 30
2.11.Экстремумы функций двух переменных ………………………. 31
Глава 3 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. |
Первообразные …………………………………………………… |
33 |
3.2. |
Понятие неопределенного интеграла …………………………… |
34 |
3.3.Свойства интегралов …………………………………………….. 34
3.4. Таблица интегралов ……………………………………………… |
36 |
3.5. Методы интегрирования ………………………………………… |
38 |
3.5.1. Метод замены переменной …………………………………. |
38 |
3.5.1.1. Занимательные и поучительные упражнения ………… |
39 |
3.5.1.2.Обобщение таблицы интегралов ………………………. 43
3.5.1.3.Примеры применения метода ………………………….. 43
3.5.2.Некоторые важные интегралы …………………………….. 45
3.5.3.Интегрирование по частям …………………………………. 46
3.5.3.1.Занимательные упражнения ……………………………. 47
3.5.3.2.Примеры применения метода ………………………….. 49
3.5.3.3. Циклические интегралы ………………………………… 54
3.5.4.Расширенная таблица интегралов ………………………….. 56
3.6.Интегрирование рациональных функций ………………………… 57
3.6.1. Основные понятия …………………………………………… |
57 |
3.6.2. Интегрирование простых дробей …………………………… |
58 |
3.6.3. Разложение на простые дроби ……………………………… |
60 |
3.6.3.1.Основная идея метода ………………………………....... 60
3.6.3.2.Правила разложения на простые дроби ……………….. 61
3.6.3.3.Разложение многочлена на множители ……………...... 66
3.6.3.4.Деление многочлена на многочлен ……………………. 67
3.6.4.Примеры и упражнения …………………………………….. 69
3.7.Интегрирование тригонометрических функций ………………..... 73
3.7.1.Интегралы вида ∫sinm x cosn x dx …………………………. 73
3.7.2. Интегралы вида ∫ |
dx |
|
, ∫ |
dx |
|
…………………………. |
74 |
n |
x |
n |
x |
||||
|
sin |
|
cos |
|
|
||
3.7.3. Интегралы вида ∫tgn x dx , ∫ctgn x dx ………………………. |
76 |
||||||
3.7.4.Интегралы вида
∫sin ax cosbxdx , ∫sin axsinbxdx , ∫cosax cosbxdx ………….. 77
3.7.5.Универсальная тригонометрическая подстановка t = tg 2x … 78
3.7.6.Другие тригонометрические подстановки …………………. 80
3.8.Интегрирование выражений, содержащих радикалы ……………. 83
3.8.1. Иррациональности вида n ax +b , n ax +b ………………… |
83 |
cx +d |
|
3.8.2. Интегралы, содержащие радикалы вида |
|
a2 ± x2 , x2 −a2 ………………………………………….. |
84 |
3.8.2.1. Тригонометрические подстановки …………………….. |
84 |
3.8.2.2. Гиперболические подстановки ………………………… |
86 |
3.8.3.Интегралы вида ∫xm (a +bxn ) p dx ………………………….. 87
3.9.Таблица наиболее важных интегралов …………………………… 90
3.10.Примеры неберущихся интегралов …………………………….. 91
Глава 4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4.1. |
Определение ……………………………………………………… |
92 |
4.2. |
Геометрическая интерпретация ………………………………… |
92 |
4.3.Физическая интерпретация ……………………………………... 94
4.4.Свойства интегралов ……………………………………………. 94
4.5.Основные теоремы ………………………………………………. 96
4.6. Методы интегрирования ………………………………………… 98
4.6.1.Интегрирование заменой переменной ……………………... 98
4.6.2.Интегрирование по частям …………………………………. 99
4.7.Задачи и упражнения …………………………………………….. 100
4.8. Геометрические приложения определенных интегралов ……… |
102 |
|
4.8.1. Вычисление площади плоской области …………………… |
102 |
|
4.8.2. |
Вычисление длины дуги кривой …………………………… |
105 |
4.8.3. |
Вычисление объемов тел …………………………………… |
108 |
4.8.4.Задачи и упражнения ……………………………………….. 109
Глава 5 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5.1.Основные понятия ……………………………………………….. 110
5.2.Признаки сходимости ……………………………………………. 111
5.2.1.Эталонные интегралы ………………………………………. 114
5.3. Примеры исследования интегралов на сходимость …………… 115
5.4.Задачи и упражнения ……………………………………………. 117
Приложение 1. Гиперболические функции ………………………….. |
118 |
Приложение 2. Полярная система координат ……………………….. |
120 |
Приложение 3. Некоторые алгебраические кривые ………………... |
121 |
Литература …………………………………………………………….. |
123 |