Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Учебник Математический Анализ Конев.pdf

Скачиваний:

169

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3230 31 32 > Следующая >>>

5.3. Примеры исследования интегралов на сходимость

∞ dx

Пример 1. Интеграл ∫1 x2 сходится, поскольку результат интегрирования

						+∞	dx2		1	∞
						+∞				∞
						∫		= −		=1
является конечным числом.						1	x		x	1
						1	x		x	1

				+∞	ln xdx
Пример 2.			Интеграл	∫	ln xdx	расходится, поскольку расходится интеграл
				1	x
+∞				1
+∞	dx	и ln x > 1 при
∫	dx	и ln x > 1 при		x → +∞.
1	x	x	x
1

+∞ ln xdx

Пример 3. Исследовать на сходимость ∫ 3 .

1 x

+∞ dx

Решение. Сравним данный интеграл со сходящимся интегралом ∫1 x2 .

Применим Признак сравнения 2:

lim	ln x x3	= lim	ln x	=	lim	1	= 0 .
	1 x2		x
x→+∞		x →+∞			x→+∞ x

Предел легко вычисляется по правилу Лопиталя и равняется нулю. Следовательно, данный интеграл сходится.

+∞ x

Пример 4. Исследовать на сходимость ∫1 2x4 +5 dx .

Решение. Выполним простые преобразования, чтобы сравнить данный интеграл с p -интегралом:

+∞

∫

dx < ∫

dx =

∫

7 2

1 2x

Поскольку p >1, то интеграл сходится.

Пример 4.

Исследовать на сходимость ∫

x(x

−4)

Решение.

Функция

является

неограниченной в

окрестности

x( x2 −4)

точкиx = 2 . Поэтому

для

сравнения

выберем

расходящийся

p -интеграл

∫

x −2

115

Найдем предел отношения подынтегральных функций:

lim	x − 2	= lim	1	=	1 .
	x( x2 − 4)		x(x + 2)
x→2		x→2			8

Предел не равен нулю. Следовательно, данный интеграл расходится.

+∞ dx

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл ∫2 x2 −1 .

Решение.

+∞

∫

+∞

∫

(

−

)dx

x −1

x +

−1

lim

∫(

−

)dx =

1 lim (∫

− ∫

)

x −1

x +1

x −

x +

2 b→+∞

lim ln

x −1

1 lim ln b −1 −

1 ln 1

1 ln 3.

2 b→+∞

x +1

2 b→+∞

b +1

+∞

Комментарии. Заметим, что

∫ (

−

)dx нельзя представить в виде

x −1

x +1

+∞

разности двух расходящихся

интегралов

∫

и ∫

– именно по

x −1

x +

причине их расходимости. В таких случаях бесконечный предел нужно заменить параметром, сводя тем самым проблему вычисления несобственного интеграла к стандартной проблеме вычисления определенного интеграла. На заключительной стадии нужно выполнить предельный переход, устремив параметр к бесконечности.

+∞

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл ∫ekxdx .

Решение. Очевидно, что при k = 0 интеграл расходится. Если же k ≠ 0 , то

+∞			1					1	,	если k < 0
∫e	kx	dx =		e	kx	+∞

			k			0	= k
0										если k > 0

							∞,

Таким образом, интеграл расходится при k ≥ 0 .

∞

Пример 7. Исследовать на сходимость ∫e−x 2 dx .

Решение. При больших значениях x выполняется неравенство e−x 2 < e−x .

∞	∞
Поскольку интеграл ∫e−xdx сходится, то сходится и интеграл ∫e−x 2 dx .
0	0

116

5.4.Задачи и упражнения

Взаданиях с 1 по 10 исследовать на сходимость данные интегралы.

∞

∫

;

∫

;

3 x4 +5

1 x2 + 3 x4

∞

xdx

∫

x +

;

∫

;

+∞

∫xe−x dx ;

∫x20 e−x 10 dx ;

∫3 dx

;

∫3

1 − x

+∞

∫

;

10)

∫sin xdx .

ln x

В заданиях 11–22 вычислить данные интегралы или установить их расходимость.

	∞		dx						∞ dx
11)	∫							12)	∫	x				2
11)	∫							12)	∫					2
	2 x +5								1
	∞				dx				∞								dx
13)	∫							14)	∫
13)	∫				2	+1		14)	∫						2	+4x +5
	−∞ x					+1			−∞ x							+4x +5
	1 2			dx					1 2						dx
15)	∫							16)	∫
15)	∫	x ln x						16)	∫			x ln				2	x
	0	x ln x							0			x ln					x
	0			x					+∞						dx
17)	∫e				dx			18)	∫
17)	∫e				dx			18)	∫				x		2	−9
	−∞								4				x			−9
	1								1		dx
19)	∫dx							20)	∫		dx
	−2		x						0					x
	1				dx				3						dx
21)	∫				dx			22)	∫						dx
21)	∫						2	22)	∫								2
	0		1 − x						0	( x −1)

∞

Пример. Интеграл ∫

расходится, так как расходится интеграл ∫dx

, и

x +

при x →∞ подынтегральные функции

являются эквивалентными

x +5

бесконечно малыми.

∞

2∞ = ln ∞ = ∞.

Другое решение. ∫

= ln(x +5)

x +5

117

Приложение 1. Гиперболические функции

Гиперболический синус:	sh x =	ex −e−x
			2			.

Гиперболический косинус:	ch x =		ex +e−x
			2			.
						ex −e−x
Гиперболический тангенс:	th x =	sh x			=			.
		ch x				ex +e−x
								ex +e−x
Гиперболический котангенс:	cth x =		1		=	ch x	=		.
				th x		sh x		ex −e−x

Формулы для гиперболических функций весьма похожи на соответствующие формулы для тригонометрических функций.

Таблица 1. Сопоставление основных формул для гиперболических и тригонометрических функций.

sh(α ± β) = shα chβ ± shβ chα sin(α ± β) = sinα cos β ± sin β cosα ch(α ± β) = chα chβ ± shα shβ cos(α ± β) = cosα cos β msinαsin β

sh 2α = 2shα chα

ch 2α = ch2α + sh2α

sin 2α = 2 sinα cosα

cos 2α = cos2 α −sin2 α

2sh

2 α

= chα −1

2ch

2 α

= 1 + chα

2 sin

2 α

=1 − cosα

2 cos2 α

= 1 + cosα

1 − th2 x =

cth2 x −1 =

ch2 x

sh2 x

ch α −sh α =1

cos2 α + sin2 α =1

1 + tg

x =

ctg

x +1 =

cos2 x

sin2 x

shα ±shβ = 2sh

α ± β ch

α mβ

sinα ±sin β = 2 sin

α ± β cos α mβ

chα +chβ = 2ch

α + β ch

α − β

cosα +cos β = 2 cos

α + β cos α − β

118

Продолжение Таблицы 1.

chα −chβ = 2sh α + β sh α − β
	2	2
cosα −cos β = −2 sin	α + β sin	α − β
	2	2

2shα shβ = ch(α + β) −ch(α − β) 2 sinα sin β = cos(α − β) −cos(α + β)

2chα chβ = ch(α + β) +ch(α − β) 2 cosα cos β = cos(α + β) +cos(α − β)

2shα chβ =sh(α + β) +sh(α − β) 2 sinα cos β = sin(α + β) +sin(α − β)

Приведем, для примера, доказательство формулы ch2α −sh2α =1 :


2	2	1	(e	x	+e	−x		2		1	(e	x	−e		−x		2
ch α −sh α =		4	(e		+e		)		−	4	(e		−e			)
	=	1	(e2 x +2 +e−2 x ) −									1		(e2 x		−2 +e−2 x ) =1.
		4										4

Формулы для производных и интегралов от гиперболических функций также выглядят похожими на соответствующие формулы для тригонометрических функций.

Таблица 2. Сопоставление формул дифференцирования и интегрирования гиперболических и тригонометрических функций

(sh x)′= ch x

(sin x)′= cos x

(ch x)′= sh x

(cos x)′= −sin x

(th x)′=

(tg x)′=

ch2 x

cos2 x

(cth x)′= −

(ctg x)′= −

sh2 x

sin2 x

∫sh x dx = ch x +C

∫sin xdx = −cos x +C

∫ch x dx =sh x +C

∫cos xdx =sin x +C

∫

= th x +C

∫

= tg x +C

cos

∫

= −cth x +C

∫

= −ctg x +C

sh x

sin

119

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3230 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
16.03.2015245.25 Кб43Matan.doc
#
16.03.20151.08 Mб67Matanaliz.pdf
#
16.03.2015295.48 Кб23Матан Лекции.pdf
#
16.03.20152.15 Mб169Учебник Математический Анализ Конев.pdf