∫

dt

=

3

arctg

t

+

3

t

+

t

+ C .

(38)

(t

2

2

)

3

5

a

8a

4

(t

2

+ a

2

2

(t

2

2

)

2

+ a

8a

) 4a

+ a

•

1

=

b − a

=

b − a + x − x

(x − a)(x −b)

(b − a)(x − a)(x −b)

(b − a)(x − a)(x −b)

=

(x − a) − (x −b)

=

1

(

1

−

1

).

(b − a)(x − a)(x −b)

b − a

x −b

x − a

•

1

=

1

=

1

(

1

−

1

) .

(x2 − 49)

(x − 7)(x + 7)

x − 7

x + 7

14

•

1

=

1

4

=

1 (x2 + 4) − x2

x(x2 + 4)

4 x(x2 + 4)

4 x(x2 + 4)

=

1

(

(x2 + 4)

−

x2

) =

1

(

1

−

x

).

4

x(x2

+ 4)

x(x2 + 4)

4

x

x2 + 4

Пример. Сумму простых дробей

2

и

5

можно представить одной

x −1

x + 4

дробью:

2(x + 4) + 5(x −1)

7x + 3

2

+

5

=

=

.

x −1

x + 4

(x −1)(x + 4)

(x −1)(x + 4)

7x +3

=

2

+

5

.

(x −1)(x + 4)

x −1

x + 4

дробь

7x + 3

на сумму простых дробей,

(x −1)(x + 4)

x

7x + 3

A

B

=

+

,

(39)

(x −1)(x + 4)

x −1

x +

4

7x + 3 = A( x + 4) + B( x −1) .

(40)

Полученное уравнение (относительно A и

B ) должно

тождественно

выполняться для любых значений переменной

x . Придавая переменой x

7x + 3

=

2

+

5

.

(x −1)( x + 4)

x −1

x + 4

Правило 1: Пусть рациональная функция

f (x) =

P(x)

является

(x −a)Q (x)

правильной дробью, где Q1(x)

1

- многочлен целой степени x .

Тогда f (x) можно представить,

и притом единственным образом, в

виде

P(x)

=

A

+

P1( x)

,

(x −a)Q (x)

x −a

Q ( x)

1

1

где

P1( x)

– правильная дробь;

A – некоторая константа.

Q ( x)

1

знаменателе многочлен меньшей степени. Если знаменатель дроби

P1

Q

1

P(x)

=

A

+

B

+

P2 (x)

.

(x − a)(x −b)Q (x)

x − a

x −b

Q (x)

2

2

Q(x) = (x −a1)(x −a2 )...(x −an ) ,

то

P( x)

=

A1

+

A2

+... +

An

.

(x −a )( x −a

)...(x −a

)

x

−a

x −a

2

n

2

x −a

n

1

1

Можно сказать, что каждый линейный множитель (x − ak )

в знаменателе

правильной дроби порождает простую дробь

Ak

, где

A

- некоторые

x − ak

k

1

=

A1

+

A2

+

A3

,

(41)

x( x − 3)( x + 2)

x

x −

3

x + 2

5x −1

=

A1

+

A2

+

A3

.

x( x − 3)( x + 2)

x − 3

x + 2

x

x = 0

1 = A1 (−3)2 = −6A1

A1 = −1 6 ,

x = 3

1 =15A2

A2 =1 15,

x = −2

1 =10A3

A3 =1 10 .

1

= −

1

+

1

+

1

.

x(x −3)(x + 2)

6x

15(x −3)

10(x + 2)

Правило 2: Пусть рациональная функция f ( x) =

P(x)

является

( x −a)n Q ( x)

1

правильной дробью, где

Q1(x) - многочлен целой степени x .

Тогда

f ( x)

можно представить,

и притом единственным образом, в

виде

P( x)

A1

A2

An

P1(x)

=

+

+... +

+

,

(x −a)n Q (x)

x −a

( x −a)2

( x −a)n

Q (x)

P1( x)

1

1

где

– правильная дробь;

A , A , ..., A - некоторые константы.

Q1( x)

1

2

n

Заметим,

что

знаменатель

дроби

P1( x)

является

многочленом меньшей

Q ( x)

1

Пример 2: Пусть P( x) –

произвольный многочлен степени не выше 3.

Тогда

P(x)

=

A

+

B1

+

B2

+

B3

.

(x − a)(x −b)3

x

− a

x −b

(x

−b)2

(x −b)3

Пример 3: Разложить функцию

1

на простые дроби.

(x + 1)(x − 4) 2

1

=

A1

+

A2

+

A3

.

(x +1)(x −

4)2

x +1

x − 4

(x − 4)2

Умножим обе части этого равенства на (x +1)(x − 4)2 :

1 = A (x −4)2 + A (x +1)(x −4) + A (x +1) .

1

2

3

Для нахождения коэффициентов

A1,

A2 и

A3 ,

придадим переменной x

поочередно значения –1, 4 и 0:

x = −1

1 = 25A1

A1 =1 25 ;

x = 4

1 =5A3

A3

=1 5 ;

x = 0

1 =16A1 − 4A2 + A3 =16

25 − 4A2

+1 5 A2 = −1 25.

Таким образом,

1

=

1

(

1

−

1

+

5

) .

(x +1)(x −4)2

x +1

x −

4

(x −4)2

25

Правило 3:

Пусть рациональная функция

f ( x) =

P(x)

( x2 + px + q) Q (x)

1

является правильной дробью, где (x2 + px + q) – квадратный трехчлен,

не имеющий вещественных корней; Q1 (x)

- многочлен целой степени

x .

Тогда f (x)

можно представить,

и притом единственным образом, в

виде

P(x)

Ax + B

P1( x)

=

+

,

(x2 + px + q)Q ( x)

x

2 + px + q

Q ( x)

1

1

где

P1 (x)

– правильная дробь; A и B – неопределенные коэффициенты.

Q (x)

1

Заметим, что степень многочлена

Q1 (x)

меньше на две единицы степени

многочлена в знаменателе исходной дроби.

Пример 4: Разложить

1

на простые дроби.

(x −3)(x2 − x + 2)

1

=

A1

+

A2 x + B2

.

(x −3)(x2 − x + 2)

(x −3)

(x2 − x + 2)

Избавимся

от

знаменателей,

умножая

обе

части

равенства на

(x − 3)( x2 − x + 2) :

1 = A (x2 − x + 2) + ( A x + B )(x −3) .

1

2

2

Найдем коэффициенты A1, A2 и

B2 ,

придавая переменной x различные

значения:

x = 3

1 =8A1

A1 =1 8 ;

x = 0

1 = 2A −3B

1 −

2 = −3B

B = −1 4 ;

1

2

8

2

2

x =1

1 = 2A +( A + B )(−2)

1 =

1

− 2 A +

1

A = −1 8 .

1

2

2

4

2

2

2

1

=

1

(

1

−

x + 2

) .

(x −3)(x2 − x + 2)

8

(x −3)

(x2 − x + 2)

Правило 4:

Пусть рациональная функция

f ( x) =

P(x)

(x2 + px + q)n Q (x)

1

является правильной дробью, где (x2 + px + q) – квадратный трехчлен,

не имеющий вещественных корней; Q1(x) -

многочлен целой степени

x .

Тогда f (x)

можно представить, и притом единственным образом,

в

виде

P( x)

A1x + B1

A2 x + B2

=

+

+...

(x2 + px + q)n Q (x)

x

(x2 + px + q)2

2 + px + q

1

+

An x + Bn

+

P1( x)

,

( x2 + px + q)n

Q ( x)

1

где

P1 (x)

– правильная

дробь;

A , A , ..., A

и

B , B , ..., B

–

Q1 (x)

1

2

n

1 2

n

неопределенные коэффициенты.

Заметим, что степень многочлена

Q1 (x) меньше на

2n

единиц степени

многочлена в знаменателе исходной дроби.

Пример 5.

1

A1x + B1

A2 x + B2

=

+

(x −3)(x2 − x +2)2

x2 − x +2

(x2 − x +2)2

1

=

A1x + B1

+

A2 x + B2

(x +5)3 ( x2

+ x +1)2

x2 + x +1

( x2 + x +1)2

+

C1

+

C2

+

C3

.

x +

5

( x +5)2

(x +5)3