Matanaliz
.pdf1) lim f (x)+ϕ(x) ; |
2) lim f (x)ϕ(x) ? |
||||
x → x |
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x → x |
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0 |
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0 |
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Рассмотреть в качестве примера предел lim xsin(1 x).
x → 0
5.3.f (x)= 3x − 5 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-
зать, что lim f (x) =1.
x→2
5.4.f (x)= 3x2 − 2 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-
зать, что lim f (x) =10.
x→2
5.5.f (x)= 3xx−+12 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-
зать, что lim f (x) = 1.
x→∞ 3
5.6. Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:
1) lim f (x) =b ; |
2) lim f (x) =∞; |
x→a |
x→a |
3) lim f (x) =+∞; |
4) lim f (x) =−∞. |
x→a |
x→a |
5.7. Найти пределы: |
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1) |
lim |
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x3 |
− x2 +2x |
; |
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2) |
lim |
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x2 −4 |
; |
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|||||||||||
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x2 + x |
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x + 2 |
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||||||||||||
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x→0 |
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x→−2 |
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3) |
lim |
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3 |
− x |
; |
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4) |
lim |
x2 − 4x +5 |
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; |
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||||||||||||
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3 |
− 27 |
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x→3 |
x |
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x→−1 x2 −2x −3 |
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5) |
lim |
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2x2 − x −3 |
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; |
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6) |
lim |
3x2 +2x −1 |
; |
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|
3 |
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−x2 + x +2 |
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x→1,5 2x2 −5x + |
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x→−1 |
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|||||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
2x2 −7x −4 |
|
; |
8) |
lim |
3x2 −11x +6 |
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
−2x2 +5x +3 |
|
2x2 −5x −3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x→−0,5 |
|
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|
x→3 |
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|||||||||||||||||||||||||
9) |
lim |
16 − x2 |
; |
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10) lim |
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x3 −8 |
|
; |
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||||||||||
x3 |
−64 |
|
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x2 + x − |
6 |
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|||||||||||||||
|
x→4 |
|
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|
x→2 |
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11) lim |
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3x2 + 2x −1 |
; |
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12) lim |
|
z3 + a3 |
; |
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||||||||||||||||
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27x3 −1 |
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|||||||||||
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x→1/ 3 |
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z→−a a2 − z2 |
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13) lim |
z2 |
−a2 |
|
; |
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14) lim |
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x |
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|
; |
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||||||||
a4 |
− z4 |
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|||||||||||||
|
z→a |
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x→0 |
|
x +4 −2 |
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20
15) lim |
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2x +3 −3 |
; |
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|||||||||||||||
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|
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||||||
x→3 |
|
|
|
|
3 − x |
|
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17) lim 2 − |
6 + x ; |
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||||||||||||||||||||
x→−2 |
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|
7 − x −3 |
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|||||||||||||||||
19) lim |
|
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|
x +1 |
|
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|
; |
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||||||||||||
|
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|
x + |
2 |
|
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|||||||||||||||
x→−1 x + |
|
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|||||||||||||||||||
21) lim |
|
3 |
|
|
x −1 |
; |
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|||||||
|
|
|
|
x −1 |
|
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|
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|||||||||
x→1 |
|
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|
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|||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||
23) lim |
|
3 |
|
1 − x − |
3 1 + x |
; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
25) lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
9 − x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
x→−3 |
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
27) lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
12 |
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
x→2 |
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
− |
8 |
|
||||||||||||||||||
29) lim |
ctg 2x − |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 4x |
|
|||||||||||
31) lim1−cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 3cos2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
33) lim |
|
1− tg x |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→π |
/ 4 sin x −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
35) lim sin x −tg x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
4sin |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
37) lim |
|
tg 6x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
39) lim sin10πx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
tg 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
41) limctg2 |
x |
tg2 5x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
43) lim arctg6x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 |
|
sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) lim |
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
2 − x |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18) lim |
|
|
|
|
4x +1 −3 |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→2 |
|
|
|
|
x + 2 − 2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20) lim |
x − |
3x + 4 |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→4 |
|
|
|
|
16 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
22) lim |
|
x −8 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→64 4 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
24) lim |
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||
x→1 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||||||||
26) lim |
|
|
3 |
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
; |
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→1 |
x |
−1 |
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
28) lim |
tg x − |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→π |
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
30) |
lim |
|
|
1+sin 2x |
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→−π / 4 sin x +cos x |
|
|
||||||||||||||
32) |
lim |
|
|
|
|
cos x |
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
x→π |
/ 2 cos |
|
−sin |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
34) lim sin 7x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
36) |
lim |
|
|
1+ctg x |
; |
||||||||||||
1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
x→−π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
||||
38) lim |
tg10x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
sin2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
40) lim |
1 −cos3x |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
tg2 6x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
42) lim sin(1− x) |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→1 |
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
44) lim |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||
arcsin12x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
21
45) lim arcsin 5x |
; |
|
|
|
|||
x→0 |
tg 2x |
|
|
|
|
|
|
47) lim |
|
x2 −1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
1) |
|
||
x→1 arcsin(x − |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
π |
||
|
|
sin x − |
6 |
|
|||
49) lim |
|
|
|
|
; |
||
3 |
|
|
|
|
|||
x→π / 6 |
−cos x |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
51) lim |
x2 |
−2x +5 |
|
; |
|
|
|||||
|
+ |
3x +7 |
|
|
|||||||
x→∞ x3 |
|
|
|
||||||||
53) lim |
2x2 +7x −1 |
; |
|||||||||
3x2 −5x +6 |
|
||||||||||
x→∞ |
|
||||||||||
55) lim |
x − |
|
|
x3 |
|
; |
|||||
|
x |
2 |
|||||||||
x→∞ |
|
|
|
+1 |
|
|
57) xlim→+∞( |
x +5 − |
x ); |
59) xlim→+∞( |
2x +1 − |
x +2 ); |
61) xlim→±∞( |
x2 +10x − x); |
|
63) xlim→±∞( |
4x2 +3x −2x); |
|
65) xlim→±∞ x( |
x2 +1 − x); |
67) lim x x ; x→∞ 1+ x
|
|
1 |
x+1 |
|
|
+ |
x |
|
; |
||
69) lim 1 |
|
|
|
||
x→∞ |
|
x |
|
|
|
71) lim x +1 2 x−1 ; x→∞ x −2
73) lim x2 +1 x2 ; x→∞ x2 −1
46) lim |
|
|
sin2 5x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
arcsin10x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
48) lim |
x2 |
−4x +3 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
50) lim |
|
1−sin x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→π |
/ 2 |
π |
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
52) lim |
x4 |
+2x3 −1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
100x3 +2x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
54) lim |
|
3x3 −4x2 +8 |
|
|
; |
|||||||||||||||
−5x3 + 2x2 + x |
||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|||||||||||||||||||
56) lim |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||
−x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x + 3 |
|
|
||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
58) xlim→+∞(x − |
|
2x −3); |
|
|||||||||||||||||
60) xlim→+∞( |
4x −1 − |
|
|
x ); |
||||||||||||||||
62) xlim→±∞(x − |
|
x2 +7x ); |
||||||||||||||||||
64) limx→∞(3 (x +1)2 |
|
− 3 (x −1)2 ); |
||||||||||||||||||
66) xlim→±∞( |
(x +a)(x +b) − x); |
|||||||||||||||||||
68) lim |
|
− |
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
t |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
70) lim |
|
+ |
|
k mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→∞ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1
3x − 4 2
72) lim ; x→∞ 3x + 2
74) lim x +1 x ;
x→±∞ 2x −1
22
75) lim 2x −1 x ;
x→±∞ x −1
|
+ |
1 x2 |
|
77) lim 1 |
|
; |
|
x→±∞ |
|
x |
|
79) lim (1 + sin x)cosec x ;
x→0
81) lim ln (1+kx) |
; |
||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
83) lim |
ln x −1 |
; |
|
||
|
|
|
|||
x→e |
x −e |
|
|
|
|
85) lim |
e2 x −1 |
; |
|
||
3x |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
||
87) lim |
ex −cos x |
; |
|||
x2 |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
||
89) lim |
xx −1 |
; |
|
|
|
x ln x |
|
|
|
||
x→1 |
|
|
|
76) lim 1 + 12 x ;
x→∞ x
|
2 |
−2x +1 |
x |
|
78) lim |
x |
|
; |
|
2 |
−4x + 2 |
|||
x→∞ x |
|
|
80) limx→0 (1 + tg2 |
x )1/ x ; |
|
82) lim ln(a + x) −ln a |
; |
|
x→0 |
x |
|
84) lim |
ah −1 |
; |
|
|
h |
|
|||
h→0 |
|
|
||
86) lim |
ex −e |
; |
|
|
x −1 |
|
|||
x→0 |
|
|
||
88) lim |
ex −e−x |
; |
||
sin x |
||||
x→0 |
|
90) lim(ln(x +5) −ln x).
x→∞
5.8.Определить порядок малости бесконечно малых функций в окрестности точки x = 0 по отношению к функции β (x)= x :
1) |
α (x)= x5 ; |
2) |
α(x)=2 sin x ; |
3) |
α (x) = x2 + x4 ; |
4) |
α (x)=1 − cos x ; |
5) |
α (x)= tg x + x2 ; |
6) |
α (x) = x tg x + sin x . |
5.9. Доказать эквивалентность бесконечно малых функций при x → 0 :
|
|
x2 |
|
2) |
1+ x −1 ~ |
x |
|||
1) |
1−cos x ~ |
|
|
; |
|
|
; |
||
|
|
|
2 |
||||||
2 |
|
||||||||
3) |
sin x + tg x ~2x ; |
4) |
tg x −sin x ~ x3 ; |
||||||
5) |
3 x +8 −2 ~ |
x |
; |
6) |
ax −1 x ln a . |
||||
|
|||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
5.10.Определить порядок малости бесконечно малых функций в окрестности точки x =1 по отношению к функции β (x)= x −1:
23
2) α (x) = x3 −1; 4) α(x)= 3 x −1.
5.11. Применяя принцип замены эквивалентными, найти следующие пределы:
1) |
lim sin15x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
tg10x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
lim |
arcsin (x / 3) |
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
lim |
|
x3 +2x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 sin2 (x / 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) |
lim |
4x −arctg x |
; |
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
4x + arctg x |
|
|
|
|
|
|
|||||
9) |
lim |
ln2 (1+2x) |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
sin2 6x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11) lim |
sin2 2x3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||
x2arctg2 4x2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ln(1 +8x)sin2 |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
13) lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
tg2 |
sin 6x |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) lim |
2(eπx −1) |
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 3(3 1+ x −1) |
|
|
|
|
17) lim |
arctg (x2 − 2x) |
; |
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
x→2 |
|
|
sin 3π x |
|
|
|||
19) |
lim |
1 − 2 cos x |
; |
|
|
||||
|
x→π |
/ 3 |
π −3x |
|
|
|
|||
21) lim |
1−e−2 x |
ctg |
x |
; |
|
||||
|
|
3 |
4 |
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||
23) |
lim |
ln tgx |
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
x→π |
/ 4 cos2x |
|
|
|
2) |
lim |
|
sin2 3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1−cos5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
lim |
|
arctg2 5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) |
lim |
|
arcsin |
3 |
x4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
lim ln(1+αx) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
βx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) lim |
|
tg5x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12) lim |
|
arcsin |
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 6 tg x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 3 ex − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
arcsin 9x2 tg |
x2 |
|
|
|
|||||||||||
14) lim |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
e4 − |
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) lim |
|
eπ |
− ex |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
sin 5x −sin 3x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
18) lim |
ln (9 − 2x2 ) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→2 |
|
sin 2π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20) lim |
|
cos(π x / 2) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→1 |
|
1 − |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22) lim |
|
13 7 +3x − |
40 2x +5 |
; |
||||||||||||||
|
x2 − 4x −12 |
|
|
|||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
24) lim |
|
x2 −(a +1)x + a |
; |
|
||||||||||||||
|
x3 −a3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
|
π |
|
x |
|
; |
26) lim |
1 |
− cos x |
; |
||
25) lim x |
2 |
− arcsin |
|
|
1 |
−cos |
x |
|||||
x2 +1 |
||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→0 |
|
27) lim |
|
|
|
|
|
23x −32 x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
28) lim |
3 27 − x − |
|
|
|
9 + x |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
sin(ax) +arctg(bx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
29) lim |
|
aax −axa |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30) lim |
13 1 +3x − |
40 1 − 2x |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
x |
− x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ x + 4x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
31) lim |
|
|
1+3x − 5 1−7x |
; |
|
32) lim |
ln (1+ xex ) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
ln (x3 +e−2 x ) |
|
|
|
|
|
x→0 ln (x + 1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1−sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
33) lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
34) lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
cos |
|
−sin |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35) lim |
( |
x + ex |
) |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36) lim |
|
|
|
|
m ln(e |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
( |
|
|
x |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
ctg x ; |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
37) lim |
|
|
2x |
+sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
38) lim |
ln |
|
|
x2 +ex+1 |
|
|
ctg x ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
39) lim |
|
( |
4x |
− |
x +8 |
) |
tg |
π x |
; |
|
|
|
40) lim cos |
(sin x) |
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
arcsin2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
41) lim |
|
(th x)sh 2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42) lim (th x)sh 2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43) lim |
|
|
1+ cos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44) lim |
ex2 −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→π + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+ arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
45) lim |
|
ex2 cos x −chx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
46) lim |
ex2 cos x −chx + x5 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
x5 + x3 sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x6 + x2 sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.12. Определить λ и μ таким образом, чтобы имело место равенство limx→∞(3 1− x3 −λx − μ)= 0 .
5.13. Вычислить lim x3 1 − x +sin x .
x→0
25
§6. Непрерывность и точки разрыва функции
Функция |
y = f (x) |
|
называется непрерывной в точке x = a , если |
lim f (x)= f |
(a) (или lim f (a + h)− f (a) = 0 ). |
||
x→a |
h→0 |
|
|
Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва. Точки разрыва первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют и конечны, в остальных случаях точка разрыва второго рода.
6.1.Используя определение непрерывности, показать, что данные функции непрерывны во всей своей области определения:
1) |
y = x2 −2x ; |
2) |
y =1 − x3 ; |
||||
3) |
y = |
|
1 |
; |
4) |
y = ex ; |
|
x2 |
+1 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
5) |
y = cos3x ; |
6) |
y = ln (1 + 2x). |
6.2.Для каждой из заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:
1) |
y = |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
2) |
y = |
1 |
|
|
|
|
|
; |
||||||
2 |
− x |
|
(x + 5) |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
4) |
y = |
|
3 |
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
4x − x2 −3 |
|
2x −1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5) |
y = |
sin x |
|
; |
|
|
|
|
6) |
y =arctg |
1 |
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7) |
y = lg |
|
x −3 |
|
; |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
8) |
y =3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x+4 |
|
|
|
|
|
|
6.3.Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва и построить графики:
1)y = x3 −1 .
x−1
1 − 2x , x ≤ 0,
3)y = 2sin x, 0 < x <π,
4 − x, x ≥π.
x−1
2)y = x −1 .
1 − x , x ≤ 0, 4) y = 0 , 0 < x ≤ 2,
x − 2 , x > 2.
26
|
−x −1 , x ≤ −1, |
|
|||||||
5) |
|
0 , −1 < x < 0, |
|
||||||
y = |
|
||||||||
|
|
x, |
x ≥ 0. |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
x3 , x < 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
7) |
|
|
|
|
|
, |
|
||
y = 2x, 0 ≤ x ≤ |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
||
|
|
|
> |
|
. |
|
|
|
|
|
tg x, x |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x, x ≤ 0, |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
9) |
|
|
|
|
|
|
< |
, |
|
y = cos x, 0 < x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
||
|
|
0, |
x |
≥ |
. |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−x, x ≤ 0,
6)y = x3 , 0 < x ≤ 2,x + 4 , x > 2.
2−x+1, x ≤1, 8) y = 2 − x,1 < x ≤3,
tg πx , x >3.
3
|
1 |
|
, x < 0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
0 ≤ x < |
, |
|||
10) y = sin x, |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
0 , |
x ≥ |
. |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6.4. Исследовать на непрерывность следующие функции:
1) |
y = x 1 |
; |
|
|
2) |
y = lim |
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
1+(2sin x) |
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
)) |
|
|
|
|||||
3) |
y =[x]sin π x ; |
|
|
4) |
n→∞ |
( |
xarctg |
( |
n ctg x |
; |
|
||||||
|
|
y = lim |
|
|
|
|
|||||||||||
5) |
y = lim(xn +3) при 0 ≤ x ≤1 ; |
6) |
y = lim |
(xn + x) при 0 ≤ x ≤1. |
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.5. Возможно ли доопределить функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
1) |
f (x)= xsin x |
; |
2) f (x)= arctg x |
; |
|
3) |
|
f (x)= tg |
|
|
|||||||
|
|
|
2 − x |
|
|||||||||||||
в точке x = 0 так, чтобы они стали непрерывными в этой точке? |
|
|
|
|
|||||||||||||
6.6. Исследовать на |
|
непрерывность |
функции |
f (g (x)) |
и |
g (f (x)), где |
f (x)=sgn x , g (x)=1+ x −[x].
27
§7. Дифференцирование функций
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента в некоторой точке при стремлении приращения аргумента к нулю называется производ-
ной функции в этой точке и обозначается |
′ |
dy |
= lim |
|
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y = |
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица производных основных функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) |
|
′ |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′ |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
|
|
|
|
|
|
|
=−1+u2 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcсtgu) |
|
|
||||||||||||||||||||
2) |
(un )′ = nun−1 u′; |
|
|
|
|
|
|
11) |
(au )′ =u′au ln a ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3) |
(sin u)′ =u′cosu ; |
|
|
|
|
12) |
(eu )′ =u′eu ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4) |
(cosu)′ =−u′sin u ; |
|
|
13) |
(loga u)′ = |
|
|
|
|
|
u′ |
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
u ln a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5) |
(tgu)′ = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
14) |
|
|
|
′ |
= |
u′ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln u) |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
(сtgu)′ =− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
15) |
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sh u) |
=u ch u ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) |
(arcsin u) = |
1 −u2 |
; |
|
16) |
(сh u) |
=u |
|
|
shu ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8) |
(arccosu)′ =− |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
17) |
(thu) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
2 |
u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 −u |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9) |
(arctgu)′ = |
|
|
|
|
u′ |
|
|
; |
|
|
|
18) |
(сthu)′ = − |
|
|
u′ |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
1 |
+u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sh2 u |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные правила дифференцирования |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(u ±v) =u |
|
|
|
±v |
|
; |
|
|
|
|
|
2) (Cu) |
|
=Cu |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
u |
= |
u v |
|
−uv |
. |
|
|||||||||||||||||
(uv) =u v +uv |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Производная сложной функции y = f (u(x)) определяется так: |
y′ = yu′ u′x . |
Дифференциалом функции y (x) называется выражение dy = y′dx .
28
7.1. Найти по определению производную функции: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
y = x2 ; |
|
2) |
y = x3 ; |
|
|
|
|
||||||
3) |
y = x ; |
|
4) |
y = x x ; |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
6) |
y = |
1 |
|
; |
|
|
||
5) |
y = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
|
x |
|
||||||||||
7) |
y =sin |
|
2x |
; |
8) |
y = cos |
|
x |
|
; |
||||
3 |
2 |
|
||||||||||||
9) |
y = 1 +3x ; |
10) y = |
1+ x2 . |
7.2.Используя таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования, найти производные указанных функций:
1) y = x4 +3x2 −2x +1;
3) y = 3 x + 1x − x32 +4 ;
5) y = 4x5 −3sin x +5ctg x ; 7) y = log2 x + 3log3 x ;
9) y = ex − tgx + x4 ;
24
11)y = tg x − ctg x ;
13) y = xsin x ;
15) y = 7 x ln x ;
17) y = 3 x arcctg x ;
19)y = x2 −1 ;
x2 +1
21) y =1+cos2sinx x ; 23) y = ctgxx ;
25) y =1+ex ;
1−ex
2) y = 7x7 +3x2 −4x −1;
4) |
y = 4 x3 + |
5 |
− |
3 |
+ 2; |
x2 |
|
||||
|
|
|
x3 |
||
6) |
y = 3 x + 4cos x − 2tg x ; |
||||
8) |
y = 4ex + arctgx + arcsin x ; |
10)y =5x + 6x + 1 x ;
7
12) y = arctg x − arcctg x ;
14) y = x2 tg x ;
16) y = xarccos x ;
18) |
y = x2 log3 x ; |
||||||
20) |
y = |
|
ln x |
|
+ xctg x ; |
||
|
sin x |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
22) |
y = |
|
x |
|
|
; |
|
|
x + |
|
|
||||
|
|
|
1 |
||||
24) |
y = |
x tg x |
; |
||||
|
|||||||
|
|
1+ x2 |
|
|
|
||
26) |
y = |
1−10x |
|||||
|
|
|
. |
||||
|
|
1+10x |
29