Matanaliz
.pdf§25. Индивидуальные задания по теме «Пределы»
1. Исходя из определения предела, доказать:
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a) lim |
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x2 − x −12 |
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=7 ; |
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a) lim |
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2x −1 |
|
=−2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1− x |
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1. |
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x→4 |
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x −4 |
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2. |
x→∞ |
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|||||||||||||||||||
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3 |
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1 |
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|||||||
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б) |
lim |
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= ∞ . |
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|
б) lim |
|
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|
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|
= ∞. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
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ln (1 + x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x −1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x→0 |
|
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x→0 |
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|||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
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a) lim |
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x2 −1 |
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= −2; |
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a) lim |
|
4x2 −14x +6 =10 ; |
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3. |
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x→1 |
|
1− x |
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4. |
x→3 |
|
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|
|
x −3 |
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|||||||||||||||||||
|
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|
1 cos πx |
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|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
б) |
lim |
|
= |
0 . |
|
|
|
б) lim |
|
|
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|
|
|
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|
= ∞ . |
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
2x −1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ x |
|
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|
6 |
|
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x→0 |
|
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||||||||||||||||||
|
a) lim |
|
|
|
|
2x −1 |
|
= 1 |
|
; |
|
|
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|
a) lim |
|
|
|
x2 −2x −3 |
= 4 ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4x +3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
x→∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6. |
x→3 |
|
|
|
x −3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xsin (πx) |
|
|
|
|
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
б) lim |
= 0. |
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
=∞. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−3x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x→∞ |
|
x2 +1 |
|
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|
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|
|
x→0 |
|
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|||||||||||||||||||||
|
a) lim 5x2 −4x −1 = 6 ; |
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a) lim |
|
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1 |
|
|
|
|
|
=0 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
1 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
x→1 |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
x→∞ x2 + |
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 sinπx =0 . |
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||
|
б) |
lim |
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∞. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
ln (1 − x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ x |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
a) |
lim |
|
5x2 −51x +10 |
= 49 ; |
|
a) lim |
|
2x −3 |
|
|
= 2 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x −10 |
|
|
|
|
|
|
x + |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
x→10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б) |
lim |
|
=1. |
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=∞. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− |
|
2x + |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a) lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
; |
|
|
|
|
a) lim |
x −1 |
|
=1; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +7 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
x→∞ x +2 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
cos π |
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
=0 . |
|
б) lim |
|
|
|
|
|
=∞. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ x2 −1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x→0 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a) |
lim 2 |
|
1 |
|
|
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
a) lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=∞ |
; |
|||||||||||||||
|
x−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x−1 −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
x→1 |
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 − x −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −3x |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
б) |
lim |
|
= −5. |
|
б) lim |
|
|
|
|
=3. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90
|
a) lim |
x2 − x −6 |
= −1; |
|
|||||||||||||||||
|
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15. |
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||
|
б) lim |
|
|
|
sin |
πx2 |
= |
0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→∞ x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a) lim |
|
|
x2 + x +1 |
= |
1 |
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
x2 + |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
17. |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) lim 2 |
x−1 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a) lim |
|
x +5 |
|
|
=∞ |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 −25 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
x→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) lim |
|
|
|
|
= |
0 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4x +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) lim |
5x2 −24x −5 |
= 26 |
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
x −5 |
|
|
|||||||||
16. |
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
lim 4 |
x+2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→−2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) lim |
x2 |
|
−2x +1 |
= 0 ; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||
18. |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
cos π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) |
lim |
|
=0 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→∞ x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) lim |
3x2 −40x +128 |
=8 |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
x − |
8 |
|
|
|
|||||||
20. |
|
x→8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||
|
б) |
lim |
|
sin |
=0 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
−1 |
x |
|
|
|
||||||||
|
|
x→∞ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Доказать, что функция f |
(x) не имеет предела при x → x0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
f (x)=sin |
|
|
π |
|
|
|
|
, |
|
|
x0 |
= 2 . |
|
2. |
f (x)=sin |
|
|
|
|
, |
x0 |
= 3 . |
|
||||||||||||||||
x − |
2 |
|
|
|
|
x − |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
f (x)=1−2cos π |
|
|
, |
|
x0 |
= 0 . |
|
4. |
f (x)=cos |
|
|
|
, |
x0 |
= 2 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x − |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)=1+sin π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
f (x)=cos |
|
|
|
π |
|
|
, |
|
|
x0 |
=1 . |
|
6. |
|
, |
x0 |
= 0 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
f (x)=2sin |
|
|
π |
|
|
, |
|
x0 = −1 . |
|
8. |
f (x)=cos |
|
|
|
, |
x0 |
|
= 5 . |
|
||||||||||||||||||||
|
x +1 |
|
|
x −5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. |
f (x)=1+cos |
1 |
|
, |
|
|
x0 |
= 0 . |
|
10. |
f (x)=sin |
|
|
|
|
, |
x0 |
= 5 . |
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x − |
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||
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|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. |
f (x)=sin |
|
π |
|
|
, |
x0 |
|
|
= 0 . |
|
|
12. |
f (x)=sin |
|
|
|
|
|
, |
x0 |
= −3 . |
||||||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
x + |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13. |
f (x)=sin |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
x |
|
= −2 . |
|
14. |
f (x)=1−cos |
|
|
, |
|
x |
|
=1 . |
||||||||||||||||
x |
+ |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
x −1 |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||
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1 |
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|
|
||||||||||||
15. |
f (x)=1+sin |
|
|
π |
|
|
|
|
, |
x |
|
=1 . |
|
16. |
f (x)=1+2cos |
|
|
|
|
|
, |
|
x |
|
= 3 . |
|||||||||||||||
|
|
x −1 |
0 |
|
|
x |
−3 |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
17. |
f (x)= 2cos |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
x0 |
= 3 . |
|
18. |
f (x)=cos |
|
|
|
, |
x0 |
|
= −3 . |
|||||||||||||||
x |
−3 |
|
|
|
x +3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
f (x)= 1 cos 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
19. |
f (x)=cos |
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
x0 |
= 2 . |
|
20. |
−2, x0 |
|
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||
x |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
3. |
Исходя из определения непрерывности, |
|
|
убедиться, |
что функция f (x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
непрерывна на всей области определения: |
|
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1. |
f (x)= x3 +3x + 2 . |
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|
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|
2. |
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|
f (x)=cos2x . |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||
3. |
f (x)= |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
f (x)= |
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
f (x) = ex+1 . |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
f (x)= x2 +3x − 2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
f (x)= sin |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
f (x)= tg |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. |
f (x)=ln(x −2). |
|
|
|
|
|
|
10. |
|
f (x)= e3 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
f |
( |
x |
) |
= x |
+ ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
f |
( |
x |
) |
=sin |
( |
x |
|
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
f (x)= cos(x2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
f (x)=1 +sin (x2 ). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
15. |
f (x)= e3x +sin x . |
|
|
|
|
|
|
16. |
|
f (x)= e2 x − x2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
17. |
f (x)= 4 − tg(2x). |
|
|
|
|
|
18. |
|
f (x)= x4 + 3x2 −1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
f (x)= x3 + 3x + sin x . |
|
|
20. |
|
f (x)= x −sin x . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
Вычислить пределы: |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
lim (x +1)(x3 −2x −1) |
; |
б) |
lim |
|
|
1 + 2x −3 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→−1 |
|
|
x4 + 4x2 −5 |
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
ln(1+sin x) |
|
; |
|
|
|
г) lim |
x2 −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
x→0 sin(4x −4π) |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 x |
− |
5 |
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)) |
|
3 |
|
||||
|
д) |
lim |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
lim 1−ln 1+ x |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
x2 arcsin x |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 2x − arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
( |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos 2 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ж) |
|
lim |
; |
|
|
|
|
|
|
|
з) lim |
3 x −1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lnsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
lim |
|
|
|
x3 −6x2 +12x −8 |
; |
|
б) |
lim |
|
1 − x −3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 − |
3x2 + |
4 |
|
|
|
2 + 3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (1−7x) |
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
ln 2x −ln 2π |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
sin (πx +7π ) |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92
|
lim |
|
|
|
5x |
−2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
д) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
е) |
limx→0 (1−e |
x2 |
) |
ln(1+tg2 ((πx) |
|
3)) |
; |
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x −sin 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln (2x −5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −7 3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ж) lim |
; |
|
|
|
|
з) |
lim |
x −2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
e |
sinπx |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
lim |
|
|
x3 −3x −2 |
; |
|
|
|
|
б) |
lim |
3 x −6 + 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в) |
lim |
1−cos10(x +π ) |
; |
|
|
г) |
lim |
|
|
x2 − x +1 −1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
x |
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(2x − |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x |
− e−2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
д) |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2arcsin x −sin x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 2 esin π x |
− e−sin 3π x |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x x−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ж) lim |
(cos |
|
x )x ; |
|
|
|
|
з) |
lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
sin a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
lim |
|
|
x3 +5x2 +8x +4 |
; |
|
б) |
lim |
|
x −1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→−2 |
|
x3 +7x2 +16x +12 |
|
|
|
x→1 3 x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
5π |
|
|
|
|
|
|
|
ln tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
tg x |
|
|
г) |
lim |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
x→0 |
|
|
|
|
|
arcsin 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
esin2 6 x |
−esin2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
д) |
lim |
; |
|
|
|
е) |
lim |
|
|
e4 x |
− e−2 x |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
log3 cos6x |
|
|
|
2arctg x −sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x→π |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin (x −3) |
x |
2 |
−8 |
|
||||||||||||||||
ж) lim |
x−2 |
; |
|
|
|
|
з) |
lim |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3πx |
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
(x2 +3x + 2)2 |
|
; |
|
|
б) |
lim |
4 |
x − 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→−1 x3 + 2x2 − x − 2 |
|
|
|
|
x→16 |
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
3x2 −5x ; |
|
|
|
|
|
|
г) |
lim1+cos3x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
sin2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
ln (x − |
3 2x −3 ) |
|
|
|
|
62 x −7−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
д) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
е) |
lim |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
sin (π x 2)−sin (π x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
x→0 sin3x −2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ж) lim |
|
1 + x2x x |
2 |
|
|
|
|
з) |
lim |
|
ln tgx |
x−π 4 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 + x3 |
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
1 −ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
lim |
|
|
|
x3 −3x − 2 |
; |
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
9 + 2x −5 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→−1 |
(x |
2 |
− x |
− 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→8 |
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
ln (1 −3x) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
eπ −ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 5x −sin 3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
8x + 4 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
esin 2x −etg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12x −5−3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
д) |
lim |
|
; |
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln(2x π) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 arcsin x −x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −1 5 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ж) lim( |
2 −3sin |
x )ln cos x ; |
з) |
lim |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2x2 − x −1 2 |
|
|
|
|
|
б) |
lim |
4 |
|
x − 2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
; |
|
x→16 |
3 ( |
|
x − 4) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 + 2x2 − x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
1−cos2x |
|
|
|
|
|
; |
|
г) |
lim |
|
1−sin 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos7x −cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
x→0 |
|
|
|
|
x→π |
4 |
|
(π −4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x − tg 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
д) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
|
|
e5x −e3x |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
sin ln (x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin 2x −sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x tg 2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ж) lim( |
2 −3arctg |
|
x )sin x ; |
з) |
lim |
2 − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
x3 −3x −2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
3 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 − 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
sin |
7x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
ln (9 −2x2 ) |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
x→0 |
x |
|
|
+πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
sin 2πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
д) |
lim |
tg (ex+2 −ex2 −4 ) |
; |
е) lim |
e7 x −e−2 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→−2 |
|
|
tgx + tg2 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
sin x −2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ж) lim( |
2 −cos x) |
; |
|
|
|
|
|
з) |
lim |
|
|
2 − x ln(2−x) |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
(x2 + 2x −3)2 |
|
|
; |
|
|
б) |
lim |
|
|
|
3 16x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 − 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
x→−3 |
|
x3 + 4x2 + 3x |
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim1+cosπx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
tg2πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94
д) |
lim |
etg2 x |
−e−sin 2 x |
|
||||||||||
|
sin x −1 |
; |
|
|||||||||||
|
x→π |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
+sin xcosαx ctg3x |
|||||||||
ж) lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
x→0 |
|
+sin xcos βx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
lim |
x3 |
−3x −2 |
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
+2x + |
1 |
|
|
|
||||||||
|
x→−1 x2 |
|
|
|
|
|||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
tg (π ( |
2 + x)) |
|
|||||||||||
10. |
x→0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2x + 7 − 2x+1 + 5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
д) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
x3 −1 |
|
|||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
ctg2 x |
|
||||
ж) lim |
6 |
− |
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
cos x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
lim |
(x3 − 2x −1)2 |
; |
|
||||||||||
|
x→−1 |
|
x4 + 2x +1 |
|
|
2x
в) lim ( ( )); x→0 tg π 1 + 2x
11. lnsin3x д) lim −π 2 ;
x→π 6 (6x )
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
3x |
|
|||
ж) lim |
5 |
− |
|
|
|
; |
||
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
cos x |
|
|
а) lim |
|
x2 −2x +1 |
|
; |
|
|||
|
x3 |
− x2 − x + |
1 |
|
||||
x→1 |
|
|
|
|
||||
в) lim |
1−cos3 x |
; |
|
|
|
|
||
|
4x2π |
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||
12. |
|
ln |
(2 +cos x) |
|
|
|
|
|
д) lim |
; |
|
|
|
||||
|
|
) |
|
|
|
|||
|
( |
|
|
|
|
|
||
x→π |
|
|
3sin x −1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x −sin a |
x2 |
|||||
|
|
a2 |
|
|||||
ж) lim |
x − a |
|
; |
|||||
x→a |
|
|
|
е) lim |
32 x −53x |
; |
|
arctg x + x3 |
|||
x→0 |
|
ctg2 x
з) lim (cos x)sin 3x .
x→2π
б) lim x −1 ;
x→1 x2 −1
г) |
lim |
tg3x ; |
|
||
|
x→π |
2 |
tgx |
|
|
е) |
lim |
|
e2 x − e3x |
; |
|
arctg x − x2 |
|||||
|
x→0 |
|
1
з) lim (cos x)sin2 2 x .
x→2π
б) lim |
|
|
|
3 4x −1 |
|
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
2 + x − |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→2 |
|
|
|
|
|
2x |
|
||||||
г) lim |
|
sin2 x − tg |
2 x |
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
(x −π )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е) lim |
|
|
|
35x −27 x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
arcsin2x − x |
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin (x −1) |
|
sin(x−1) |
|
|||||||||
з) lim |
x−1−sin(x−1) |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x −1 |
|
|
|
|
|
||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) lim |
|
|
|
1 + x − |
1 − x |
; |
|
||||||
|
|
|
7 |
x |
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim tgπx ;
x→−2 x +2
е) lim |
|
|
e5x −ex |
|
; |
|||
|
arcsinx + x3 |
|||||||
x→0 |
|
|
|
|||||
|
|
2 − x |
|
1 |
|
|
||
з) lim |
ln( |
2−x) |
. |
|||||
|
x |
|
|
|
||||
x→1 |
|
|
|
|
|
95
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
x −2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2x4 − x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 3 x2 −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
arcsin3x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
1−sin(x 2) |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 + x − |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
π − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2π )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x −e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
д) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x − tg2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→2π lg (cos x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) lim( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 − x tg |
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 −earcsin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) |
lim |
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x )x ; |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + x) |
3 |
−(1 + 3x); |
б) |
lim |
|
|
3 x 16 −1 4 |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 4 + x − |
|
|
2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x + x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
2x+1 −2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
x2 − x +1 −1 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln(1+4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
tgπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lncos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x − 27 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
д) |
lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg3x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x→2π lncos4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 − |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
з) |
lim |
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
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. |
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||||||||||||||
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x |
2 |
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−4 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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x→2 |
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x→π |
2 |
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|||||||||||||||||||||
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а) |
lim |
x3 +5x2 +7x +3 |
; |
б) |
lim |
|
|
3 9x −3 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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5x + 2 |
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|||||||||||||||||||||||
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|
x→−1 x3 + 4x2 + |
|
|
x→3 |
|
|
3 + x − 2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
2sin (π (x +1)) |
; |
|
г) |
lim |
cos5x −cos3x |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln 1 + 2x |
) |
|
|
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sin |
2 |
|
x |
|
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x→0 |
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|
( |
|
|
|
|
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|
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x→π |
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|||||||||||||
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|||||
15. |
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lim ( |
x3 −π |
3 |
) |
sin 5x |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
5 |
2 x |
|
− |
|
|
|
3x |
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
е) |
lim |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
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|
x −1) |
|
|
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|
sin x +sin x2 |
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|
|
x→π |
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|
(esin |
|
|
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x→0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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ж) lim(cosπx) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
з) |
lim |
|
(cos x) |
ctgx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x sin πx |
|
|
|
|
sin 4 x |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
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x→4π |
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||||
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||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
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x |
3 |
−3x + 2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) |
lim |
|
3 |
x 4 −1 2 |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
1 2 + x − |
|
|
2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 − x2 − x + |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x→1 2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) lim cos2x −cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
г) |
lim |
; |
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
1−cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x→π |
|
3 |
π −3x |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
96
|
д) |
lim |
|
|
|
|
|
lnsin x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
ex − e−x |
|
|
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|
|
|
; |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
tg2x −sin x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→π |
2 (2x −π) |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
x→0 |
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
з) |
lim |
( |
3 − 2x |
) |
tg |
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) lim 1 |
sin |
ln cos x |
; |
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
( |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
x→1 |
|
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|||||
|
а) |
lim |
x3 −2x −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
10 − x − 6 1 − x |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
+2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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2 + |
3 |
x |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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x→−8 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→−1 x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
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|
|
|
arctg2x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
г) |
lim |
|
sin 7x −sin 3x |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin ( |
2π (x +10)) |
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
−e |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
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x→2π |
|
|
x |
|
|
4π |
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
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|
|
||||||||||
17. |
д) lim ln cos 2x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
ex |
|
− e−2 x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→π |
|
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|
− |
π |
|
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||||||||
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|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
sin 3x − tg2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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||||
|
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|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x) |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||
|
ж) lim |
|
|
|
− x |
|
|
|
; |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
tg |
|
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|
|
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|
з) |
lim |
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|
|
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|
|
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|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg5 xsin 2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x→4π |
|
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||||||||
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|
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|
|
||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
1−2x + x2 |
|
|
−(1+ x) |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x2 − x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x→0 |
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
в) lim1− |
|
cos x ; |
|
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|
|
|
|
|
г) |
lim sin 7πx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
x→0 |
|
|
|
|
xsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
sin8πx |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
д) |
lim |
|
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ax2 −a2 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
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|
102 x |
|
− 7−x |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
tg ln (x a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
2tg2x −arctg x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→a |
|
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|
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|
|
|
|
x→0 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
x−3 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ж) lim |
(1 − xsin |
|
x)ln(1+πx |
3 |
); |
з) |
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x→0 |
|
|
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x→3 |
sin 3 |
|
|
|
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|
|||||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
x3 +5x2 +8x + 4 |
; |
|
|
б) |
lim |
|
|
9 −8x −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 +3x2 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→−2 |
|
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|
|
x→1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
ln (x2 +1) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
arctg(x2 −2x) |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
x→0 2 − |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
sin3πx |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
ln cos x |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
9x |
− 23 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
д) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3sin 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
x→2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
arctg2x − 7x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
ctgπ x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
ln(x+2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ж) lim |
2 − esin x |
|
|
|
|
|
|
|
з) |
lim |
ln(2−x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
|
а) |
lim |
|
x3 |
+7x2 +15x +9 |
; |
б) lim |
|
17 −8x −1 |
; |
||||||||||
|
|
|
+8x2 + |
21x +18 |
|
|
x − 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
x→−3 x3 |
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) |
lim |
sin |
2 x − tg2 x |
; |
|
г) lim |
|
2x |
−16 |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
sinπx |
|
|
|
|
|||||||
20. |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
cos(x 2) |
|
|
|
|
е) lim |
|
|
e2 x − ex |
|
; |
|
|
|||||
|
д) |
esin x −esin 4 x ; |
|
|
|
tg x2 + x |
|
|
||||||||||||
|
x→π |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
ж) lim (1 − ln cos x)ctg2 x ; |
|
|
1 |
|
ln(x+1) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
з) lim |
ln(2−x) |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Сравнить бесконечно малые функции α (x) и β (x) при x → x0 : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
α(x)=1+cos3x , |
|
2. |
α (x)= ax − a−x , |
|
||||
β (x)= sin2 7x , x0 = π . |
β(x)= tg x , x0 = 0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
α(x)=ln(1+ x2tg x ), |
4. |
α (x)= e x3 , |
|
|||||
β (x)= x , x0 |
= 0 . |
|
β(x)=1−cos(sin x), x0 = 0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
α (x)= 3 1 − |
|
x −1, |
6. |
α (x)= sin ( 9 + x −3), |
||||
β (x)= x , x0 = 0 . |
|
β (x)= x , x0 = 0 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
α (x)= ln (1 + x ), |
|
8. |
α(x)=ln(1+ x3 ), |
|||||
β (x)= x , x0 = 0 . |
|
β (x)= x , x0 = 0 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
α(x)=1−cos x , |
|
10. |
α (x)=1 −cos 3 x2 |
, |
||||
β (x)= x , x0 |
= 0 . |
|
β (x)= x , x0 = 0 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. |
α(x)= ln (x −3), |
|
12. |
α(x)= ln (x −6), |
|
||||
β (x)= x2 −5x + 4 , |
x0 = 4 . |
β (x) = 3 8 − x −1, |
x0 = 7 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
α(x)=lncos x , |
|
14. |
α (x) = cos2 3x −1, |
|
||||
β (x) = 3sin x |
−1, x0 |
= 2π . |
β (x)= sin2 2x , x0 |
= π . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x)=1− x |
, |
|
|
|
α(x)= |
x −4 |
, |
|
15. |
|
|
16. |
|
|
||||
1+ x |
|
|
|
|
x +4 |
|
|||
|
β (x) = 2 − 2 x , x0 =1 . |
|
β (x) = 2 − x , x0 = 4 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
17. |
α(x)= 4 − x2 , |
18. |
α(x)= 9 − x2 , |
2 + x |
3 + x |
||
|
β(x)=ln(3 − x), x0 = 2 . |
|
β(x)=ln(4 − x), x0 = 3 . |
|
|
|
α(x) =(100x +1)x−100 −1, |
19. |
α(x) =(10x +1)x−10 −1, |
20. |
|
β(x)=ln(11− x), x0 =10 . |
β (x)= ln (101− x), x0 =100 . |
||
|
|
|
|
6.Исследовать на непрерывность, выяснить характер точек разрыва и изобразить графически следующие функции:
а) y (x)= |
|
|
x |
2 |
− 4, x < −2; |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
x −3 |
, x ≥ −2. |
|||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
б) y(x)= |
|
|
|
. |
|
||
2x −1 |
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
−x, x ≤ 0; |
||||
а) y(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
2, 0 < x ≤ 2; |
3.x2 +3, x > 2.
б) y(x)=2 −3 |
x+1 |
|
|
|
||||||||||||||||
x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x −3, x < 0; |
|||||||||||||||||
а) y(x)= x +1, 0 ≤ x ≤ 4; |
||||||||||||||||||||
5. |
|
|
+ |
|
|
x, x > 4. |
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
б) y(x)=1− |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
x + |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1, x ≤ 0; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) y(x)= 2sin x, 0 < x ≤π 2; |
||||||||||||||||||||
7. |
π |
+ 4 |
− x, x >π 2. |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) y(x)=1+2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
3x−2 |
||||||||||||||||||||
а) |
y(x)= |
x |
|
a − x |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a − x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
б) y (x)= 2 + |
. |
|||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + 3 |
x−2 |
|
|
а) y (x)= |
|
|
x |
2 |
− 4, x < −3; |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
x − 4 |
, x ≥ −3. |
||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
б) y(x)= |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
3x −1 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
+1, x ≤1; |
|||||
а) y(x)= |
x |
|
|||||||
2x, 1 < x ≤ 3; |
4.x +3, x > 3.
б) y(x)=1−2 |
x−2 |
|
|
|
||||||||||||
|
x |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x2 , x < 0; |
|||||||||||||
а) y(x)= 1 − x, 0 ≤ x <1; |
||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln x, x ≥1. |
|||||||||||||||
б) y(x)= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|||||||
+83−x |
||||||||||||||||
1 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ex , x ≤ 0; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) y(x)= sin x, 0 < x ≤π 2; |
||||||||||||||||
8. |
ln (x −π 2), x >π 2. |
|||||||||||||||
б) |
y(x)= |
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
x3 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
y(x)= |
|
x −2 |
|
|
− |
1 . |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x −2 |
|||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
б) y (x)= −1 + |
|
. |
||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1−x |
|
|
99