Методика решения нестандартных задач

Задача 4.16. Относительные линейные деформации, определённые с помощью тензорезисторов, равны εв = 5·10 -4, εс = - 1,5·10 -4. Внешние нагрузки:

F = 10 кН, т = 2 кН м. Размеры в метрах брусьев круглого и квадратного сечения указаны на рис.4.16. Найти модуль сдвига материала.

Указание. См. решение задач 4.13 и 4.14.

Задача 4.17. Измеренные с помощью тензометров относительные удлинения равны εв = 2·10 -4, εс = 6·10 -4. Полагая материал брусьев - сталь (Е = 2·10 -5

МПа; μ = 0,25; σТ = 240 МПа),

определить коэффициент запаса по текучести в месте расположения

датчиков ("рис.4.17, а, б, в).

Указание Выделив в местах установки тензометров элементарные частицы (рис.4.13, а-в) , определим относительные деформации εz, εу, γуz по формулам (3.6). Далее из выражения (3.9) находим исходные напряжения σz, τуz, а по ним, используя зависимости (3.12), - главные напряжения σ1, σ3. Наконец, подсчитываем

σэкв и nТ .

21

5. Определение перемещений и расчет статически неопределимых систем

5.1. Общие сведения

Данные разделы курса сопротивления материалов объединены в одну главу, поскольку решение статически неопределимых задач основано на составлении дополнительных к условиям равновесия уравнений перемещений либо в форме канонических уравнений метода сил, либо из рассмотрения плана деформированного состояния системы.

Как правило, перемещения вычисляются методом Мора-Верещагина. Студенты решают достаточно большое число задач на практических занятиях и при выполнении лабораторных работ. Однако из поля их зрения при определении перемещений нередко выпадают такие особенности как деформация бруса при

иобратной симметрии; перемещения в брусьях переменного сечения; напряжения

идеформации, возникающие при нагреве стержней, неточности в их изготовлении (монтажные зазоры) или в случае осадки опор.

Задача 5.1. Тонкая стальная проволока диаметром d = 0,001 м согнута в круговое кольцо (рис.5.1, а) и в дугу окружности (pиc.5.1, б). Какова длина

моментов, вычислить по формуле (5.1) радиусы кривизны на участках балок. Учесть, что поскольку на участках АВ и СD (рис.5.2, б) и АВ (рис.5.2, в) изгибающие моменты равны нулю, эти участки при деформации балки остаются прямыми (l/ρ = 0) - наклонными для рис.5.2, б и горизонтальной для рис.5.2, в. О вычислении σmaх см. указание к предыдущей задаче.

Задача 5.3. Балки с постоянной жесткостью EJx и погонным весом q, частично отрываются от абсолютно жесткого основания. Считая

22

известными силу F (рис. 5.2, а, б) и высоту шарнирных опор (рис. 5.2, в), определить длину С части балки, оторвавшейся от основания. Для балок на рис.5.2, а, б установить также, насколько приподнимется сечение А.

Указание. На участке OВ балка остается прямой (l/ρ = 0) следовательно, изгибающий момент в сечении О равен нулю. Учитывая, что данное сечение еще и не поворачивается, можно для всех вариантов принять расчетную схему в виде консольной балки ОА, жестко закрепленной в указанном сечении О; при этом в сечении А (рис.5.3, б) приложены сила F/2 и неизвестный момент МА, а в том же сечении для рис.5.3, в - неизвестная реакция RА. Размер С (рис.5.3, а) определится из условия равенства нулю изгибающего момента в опоре О (МО = 0); размер С и момент МА (рис. 5.3, б) находятся из двух условий: МО = 0, θА = 0 из симметрии исходной схемы на рис.5.3, б; размер С и величина МА (pиc.5.3, в) вычисляются также из двух условий: МО = 0, уА = .

деформируемыми стержнями одинаковой жесткости.

Указание. "Перемножить" эпюры изгибающих моментов для грузового и единичного состояний - учесть, что на длине бруса ВС рис. 5.4, б интегралы Мора равны нулю. При изображении оси вспомнить, что эпюра Мх строится на сжатых волокнах; принять во внимание также, что на рис.5.4, а крайние опоры перемещаются вертикально, а средняя опора В вдоль балки; на рис.5.4, б брус ВС поворачивается как жесткое целое; на рис.5.4, в левый участок не деформируется.

Задача 5.5. Установить, при каком значении угла α. полное перемещение точки В совпадает с направлением действия силы F (рис.5.5, а, б). Указание. Приравнять нулю перемещение точки В в направлении, перпендикулярном линии действия силы F.

Задача 5.6. Определить величину параметра α из условия равенства нулю вертикального перемещения сечения В (рис.5.6, а, б).

Указание. Линия действия силы F должна проходить через точку, расположенную под центром тяжести площади эпюры изгибающих моментов

единичного нагружения.

5.2. Брусья и системы, нагруженные симметрично и кососимметрично

Из простых рассуждений и рассмотрения характера деформации бруса следует, что при его изгибе на оси симметрии равен нулю угол поворота при

23

симметричной нагрузке и прогиб - при кососимметричной нагрузке ( рис.5.7, а, б); аналогичные замечания были сделаны в главе 2 относительно внутренних силовых факторов, обращающихся в нуль в сечении, расположенном на оси симметрии бруса. Учет указанных свойств позволяет в некоторых случаях существенно упростить задачу определения перемещений или раскрытия статической неопределимости.

Задача 5.7. Для заданных балок определить угол поворота (рис.5.7, в) к прогиб (рис.5.7, г) сечения В. Считать известными нагрузки, длину l и жесткость E·J = = const.

Указание. Использовать принцип независимости действия сил и учесть, что на оси симметрии для обеих балок (рис.5.7, в, г) искомые перемещения от распределенное нагрузки q и сосредоточенных сил F равны нулю.

Задача 5.8. Показать, что балки, приведенные на рис.5.8, а, б, имеют одинаковый прогиб точки В и найти его величину. Известно, l, E, J.

Указание. Для обоих вариантов прогиб точки В

равен половине прогиба указанной точки от нагрузки q, равномерно распределенной по всей длине балки.

Задача 5.9. Для балки постоянной жесткости E·J (рис.5.9) получить формулу для определения прогиба и угла поворота произвольного сечения С, отстоящего от середины балки на

.расстоянии z0; т, l заданы.

Указание. Легче решить задачу; определив искомое перемещение как половину суммарного перемещения точек С и С', расположенных на одинаковом расстоянии z0 от середины балки - в единичном состоянии в точках прикладываем

силы = 1, когда находим прогибы, или M = 1, когда ищем углы поворота.

Задача 5.10. Для балки постоянной жесткости установить положение сечения С, где прогиб максимален, и определить его. величину. Известно: Е, l, J, т. (Рис.5.10).

Указание. Вывести формулу C = f(z) и исследовать полученную функцию на экстремум или найти у в сечении, где

θC = 0.

Задача 5.11. Для статически неопределимых балок (рис.5.11, а , б, в) построить эпюры изгибающих моментов. Известно: Е, а, l, J, т.

Указание. Учитывая свойства симметрии, принять за расчетную схему балку ОВ с жесткой опорой В.

Неизвестный момент М0 (рис.5.11, а) найти из условия равенства нулю угла поворота сечения на оси симметрии (θО = 0) - при этом площади эпюр изгибающих моментов на участках ОС и СВ равны. Величину поперечной силы QО для схем на рис.5.11, б, в определить из условия равенства нулю прогиба уО; в расчетной схеме для балки на рис.5.11, б учесть, что = т/2 и эпюра Мк переходит через нуль в

24

сечении, отстоящем от точки О на 2l/3 (см. указание к задаче 5.6).

Задача 5.12. Для заданных неразрезных балок (рис.5.12, а-в) построить эпюры изгибающих моментов, не раскрывая статической

неопределимости.

Указание. Врезать шарнир в точке О, лежащей на оси симметрии. Для рис.5.12, а эпюра в балке ОВ должна пересекать нулевую линию на расстоянии l/3 от точки O, чтобы угол поворота сечения О равнялся нулю (см. предыдущую задачу). Для рис.5.12, б, в изгибающий момент в сечении O равен нулю при кососимметричной нагрузке; следовательно, врезание шарнира не изменяет работы балки и неразрезная балка равносильна двум балкам ОВ с общей опорой O. После этого замечания построение эпюры Мк для двухопорных балок ОВ (рис.5.12, б) элементарно; для балок ОВ на рис. 5.12, в еще раз использовать прием врезания шарнира в сечении С и учесть, что в силу симметрии этого сечения балки ВС и СО нагружены половиной момента т.

5.3. Учет осадки опор и монтажных зазоров при расчете стержневых систем

Особенность расчета статически неопределимых стержневых систем, в отличие от статически определимых, состоит в том, что в них при осадке опор и неточностях в изготовлении отдельных элементов возникают внутренние усилия даже при отсутствии других внешних воздействий.

Угловые и линейные перемещения в данном случае определяются методом Мора по такой формуле:

где ki - перемещение k-того сечения, вызванное осадкой (монтажным зазором) i-й опоры (стержня); - реакция в i - й опоре по направлению единичной нагрузки (Fk = 1 или mk = l), приложенной в сечении k в направлении искомого

перемещения.

Произведение Ri i берется со знаком плюс, если реакция Ri и осадка i

направлены в одну сторону. Для балки на рис.5.13, а, если принять, что Fk = 1 в

единичном состоянии действует вниз, имеем:

k R1 1 R2 2 1 1 1 2 .

При решении статически неопределимых систем в левую часть канонических уравнений метода сил добавляются члены i , вычисляемые для основной системы по формуле (5.2).

Задача 5.13. Определить, при каком соотношении осадок опор 1/Δ2 вертикальное перемещение сечения С равно нулю (рис.5.13, б, в). При найденном значении 1 и 2 найти угол поворота сечения Е.

Задача 5.14. Подобрать величину таким образом, чтобы масса конструкции была минимальной (рис.5.14, а, б, в) . Все стержни выполнены из стали. Известно:

25

неизвестную реакцию опоры Б (силу или момент) - рис.5.14, а и взаимные

усилия Х1 в смежных сечениях В (рис.5.14, б, в), построить эпюры внутренних усилий. Далее использовать условия оптимизации конструкций: для рис.5.14, а принять МС = - МВ; Для рис.5.14, б, в приравнять максимальные напряжения в стержнях 1 и 2.

Задача 5.15. На сколько надо опустить правую опору, чтобы балка постоянного сечения имела наименьший вес (рис.5.15). Известно: l, F, J, Е.

Указание. Решив систему канонических уравнений

11 X 1 12 X 2 1F 1 0,

21 X 1 22 X 2 2F 0 ,

найти реактивные силу и момент в опоре В, построить эпюру изгибающих моментов, использовать условие оптимизации МС = - МВ.

Задача 5.16. Левая опора бруса постоянного сечения получает угловое перемещение θ (рис.5.16). Найти угол поворота сечения, в котором кривизна оси бруса равна нулю.

Известно: l, m, J, E, θ = ml/3EJ.

Указание. Раскрыв статическую неопределимость (см. указание к задаче 5.14), найти реакцию опоры B, построить эпюру изгибающих моментов для эквивалентной системы и для нее же определить угол поворота сечения, в котором изгибающий момент равен 0.

Задача 5.17. Полагая Δ, l, Е·А заданными, установить, при каком значении силы F нормальные напряжения во всех поперечных сечениях бруса будут равны по абсолютной величине (рис.5.17,).

Указание. Раскрыв статическую неопределимость (см. задачу 5.14), найти взаимные усилия в смежных сечениях В, построить эпюру нормальных сил и приравнять абсолютные величины этих сил в растянутой и сжатой зоне бруса.

5.4. Расчет стержневых систем на действие температуры

При изменении температуры среды перемещения в статически определимых системах совершаются свободно и не возбуждают усилий. При равномерном нагреве прямолинейный стержень лишь удлиняется вдоль оси; при неравномерном нагреве стержень дополнительно к осевому удлинению искривляется (рис.5.18, а).

Для прямых стержней переменного сечения и брусьев малой кривизны температурные перемещения определяют по формуле О. Мора

26

для прямолинейных стержней постоянного сечения применяют формулу Верещагина

(охлаждения) и перепада температур по высоте сечения h в пределах i-го участка;t o i , ti - площадь эпюры равномерного нагрева (охлаждения) и перепада

температур по сечению на i-ом участке (площадь ω ti откладывается со стороны

менее нагретого волокна стержня) ; Niс , M iс - ординаты эпюр нормальной силы и

изгибающего момента на i - ом участке единичного состояния, вычисленные под центром тяжести площади toi , и ti соответственно; α - коэффициент линейного

расширения.

Произведение внутренних усилий единичного состояния на температурные факторы грузового состояния в обеих формулах следует брать со знаком "плюс", если на i-ом участке указанные параметры вызывают растяжение - сжатие одних и тех же волокон.

В статически неопределимых системах при действии температуры, как правило, возникают дополнительные усилия. Их определяют из решения канонических уравнений метода сил, в левую часть которых добавляются члены

it , вычисляемые для выбранной основной системы по формулам (5.3) или (5.4).

Задача 5.18. В заданной системе (рис.5.13, а) стержни 1 и 2 равномерно нагреваются соответственно на t° и 2·t°; брус BС высотой h испытывает одинаковый по всей длине перепад температур:

верхние волокна нагреты на 2·t°, а нижние охлаждены на (- t°). Определить вертикальное перемещение точки К, считая известными l, h = 0,l·l, t°, α.

отложены со стороны сжатых волокон).

На рис.5.13, в построены единичные эпюры N для стержней 1 и 2 и M х для бруса ВС, из которых следует:

"Перемножая эпюры" по формуле (5.4), получим

27

Знак (-) показывает, что точка К перемещается противоположно силе FK = 1,

т.е. вверх.

Задача 5.19. Рама (рис.5.19, а) находится в условиях равномерного охлаждения ее элементов на tо = - t°, а неразрезная балка (рис.5.19, б) - при постоянном на всей длине перепаде температур t, причем верхние волокна нагреты меньше, чем нижние. Жесткость и рамы, и балки

одинакова на обоих участах (E·J - const). Коэффициент линейного расширения - α. Считая известными l, E, J, α, t , определить, при каких значениях F и т, масса обеих систем минимальна.

Указание. Использовать каноническое уравнение метода сил 11 X 1 1F 1t 0, в

котором коэффициенты δ11 и 1F определить "перемножением эпюр" изгибающих моментов для грузового и единичного состояний; температурный член уравнения 1t вычислить по формуле (5.4) с учетом лишь первого слагаемого для рамы ("ряс. 5.I9, а) и только второго слагаемого для балки (рис.5.19, б) . Построить окончательную эпюру изгибающих моментов и записать условие MВ = - МС.

Задача 5.20. Брус неравномерно нагрет по всей длине. Температура нагрева линейно возрастает от t° на левом конце до 3·t° в правом сечении (рис.5.20). Найти нормальное напряжение в поперечном сечении бруса и построить эпюру осевых

первое слагаемое; найти реакцию опоры X1 и нормальное напряжение в поперечном сечении бруса. Учесть, что относительная линейная деформация в произвольном сечении z (pnc.5.20) равна εz = α·tz + σ/E и тогда осевое

z

перемещение указанного сечения z z d z.

0

5.5. Брусья переменного сечения

Для брусьев переменного сечения формула Верещагина не применима; перемещения в статически определимых системах и в канонических уравнениях метода сил вычисляются с помощью интегралов О.Мора.

Задача 5.21. Для конического бруса, загруженного распределенной осевой нагрузкой интенсивностью q = const (рис.5.21, а), распределенным скручивающим моментом интенсивностью т/l

(рис.5.21, б) и сосредоточенным моментом т, изгибающим брус в вертикальной плоскости (рис.5.21, в),

28

определить указанные на рисунках перемещения. Известно: l, m, α, Е, G. Указание. Записать величину диаметра dz и геометрических характеристик

(А, Jp, Jx) в произвольном сечении z, выбрать соответствующее единичное состояние и вычислить интегралы О.Мора.

Задача 5.22. Определить максимальную температуру равномерного нагрева конического бруса (Δtmax) перемещение сечения К при найденном значении tmax (pиc.5.22), если l = 1,3

м; а = 0,04 м; E = 2·l05 МПа; α = 1,25·10-5 1/град; [τ] = 150 МПа.

Указание. Раскрыв статическую неопределимость, определить tmax из условия прочности опасного сечения бруса; вычислить величину нормальной силы N и для эквивалентной системы найти линейное перемещение сеченая К с учетом повышения температуры бруса и действия продольной силы N (см. решение задачи

5.21).

Задача 5.23. Определить, на какой максимальный угол (φmax) можно повернуть правую опору, жестко соединенную с коническим брусом (рис.5.23), чтобы максимальное

напряжение, в брусе не превышало допускаемого, если l = 2,4

м; d = 0,07 м; [τ] = 100 МПа; G = 8·104 МПа.

Указание. Решив каноническое уравнение метода сил 11 X1 1 0 где 1Δ

= ± φmax, найти X1 - момент в правой подвижной опоре, а затем из условия прочности - величину τmax.

Задача 5.24. Брус в форме двух усеченных конусов, имеющий диаметр d посредине и диаметр 2d в опорах, загружен силой F = 9 кН. Построить эпюру изгибающих моментов и определить размер d, если l = 1 м и [σ] = 152 МПа

(Рис.5.24).

Указание. Учитывая геометрическую и силовую симметрию, принять за эквивалентную систему половину бруса ОВ, загрузив ее в сечении О силой F/2 и неизвестным моментом X1. Раскрыть статическую неопределимости и построить эпюру изгибающих моментов. В произвольном сечении z (рис.5.24) записать

Wx (z) d 3 (1 z/l)3 /32 и исследовав функцию (l) на экстремум, найти положение опасного сечения (z0), а затем, из условия прочности, вычислить величину d.

5.6. Расчет систем по деформированному состоянию.

Особенностью решения данных задач является неприменимость принципа начальных размеров. При составлении уравнений статики в этих случаях необходимо рассматривать деформированную систему, так как в исходной равновесие невозможно.

Задача 5.25. Определить усилия, возникающие в одинаковых стальных стержнях ОВ и ОС постоянного поперечного сечения (А = 10-3 м2), и вертикальное перемещение узла О при действии силы F = 128 кН (рис.5.25. а, б), если l = 1 м, E =

29

2·105 МПа, α = π/18 рад.

Указание. Из условия равновесия узла О в деформированном состоянии системы для обеих схем следует: N = F /2α (l). Деформация стержней (рис. 5.25,

б): l = l/cos α - l/cos α0 = l·(α2/2 – α02/2) (2)- это выражение верно и для рис.5.25,

6. Сложное сопротивление бруса

Брус испытывает сложное сопротивление, когда с его поперечном сечении действуют два и более внутренних силовых факторов. В соответствии с принципом независимости действия сил (принцип суперпозиции) полное нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения равно алгебраической сумме

где Jx, Jy - осевые моменты инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей (рис.6.2) .

Рекомендуется выражение (6.1) записывать для точки, лежащей в первой четверти опасного сечения, чтобы ее координаты x, у были положительны. Нормальная сила N вводится в формулу со своим знаком. Знаки перед вторым и третьим членами выбираются в зависимости от характера деформации - растяжение или сжатие - вызываемой в исходной точке изгибающими моментами Мх и My. Для отыскания точек с наибольшим напряжением следует записать уравнение нейтральной линии, положив в формуле (6.l) σ = 0 - искомые точки будут самыми удаленными от нейтральной линии и в растянутой, и в сжатой зоне сечения.

При определении касательных напряжении влиянием поперечных сил Qx и Qy пренебрегают, и вычисляют максимальное напряжение в точке, расположенной у поверхности бруса, учитывая лишь действие крутящего момента Мк:

где Wр - полярный момент сопротивления для бруса круглого или кольцевого сечения; Wк - момент сопротивления при кручении бруса некруглого сечения.

Следует обратить внимание, что в случае сложного сопротивления бруса при неучете действия поперечных сил в отсутствии крутящего момента в поперечных сечениях частицы материала в точках с максимальным растягивающим и сжимающим напряжением находятся в линейном напряженном состоянии и

проверяются на прочность по условиям:

(σp)max ≤ [σp], │(σс)│max ≤ [σc] (6.3)

Для пластичных материалов используется только одно из условий (6.3) - для точки, где действует наибольшее по абсолютной величине напряжение. Если при сложном сопротивлении бруса в поперечном сечении возникает

крутящий момент Мк то, как правило, частица материала в опасной точке сечения испытывает плоское напряженное состояние и ее проверяют на прочность по одной из теорий прочности -чаще всего применяют обобщенную теорию О.Мора:

30