Методика решения нестандартных задач

где εi определяется по формулам. (3.1).

Задача 3.4. а) Сравнить изменение объемов шара и куба, изготовленных из одного материала, при нагружении силами F (рис. 3.4, а).

б) Во сколько раз уменьшение объема тела при нагружении сжимающими силами F в направлении оси у больше, чем при нагружении теми же силами в направлении оси x (рис.3.4,б)?

Указание: Рядом с исходным состоянием нагружения силами F (I) изобразить состояние всестороннего сжатия тела давлением q (II). Далее воспользоваться теоремой о

взаимности работ F l(II) q V(I), где V(I) - искомое изменение объема в (I) состоянии, т.е. от действия сил F, а l(II)- изменение расстояния между точками приложения сил F во (II) состоянии, т.е. под действием давления q; l(II) F lF ,

где εF - относительная деформация в направлении действия сил F при всестороннем сжатии тела, вычисляемая по формулам (3.1,б).

3.2. Плоское (ПНС) и линейное напряженные состояния (ЛНС)

ПНС испытывает элементарная частица (рис.3.1, а) в том случае, когда отличны от нуля два главных напряжения; ЛНС имеет место, когда не равно нулю лишь одно главное напряжение из трех.

3.2.1. Основные формулы ПНС

На рис.3.5 представлен общий случай плоского напряженного состояния - на передней и задней грани главное напряжение равно нулю, остальные площадки, на которых заданы исходные напряжения (σz, σу τzу, τуz,) – не являются

Рис.3.5 главными (по ним действуют касательные напряжения). Исходные напряжения связаны с относительными (линейными и угловыми

деформациями в плоскости уz с помощью закона Гука

где G - модуль упругости второго рода (модуль сдвига).

Нормальное и касательное напряжения в произвольной площадке, наклоненной к исходной площадке с нормалью z под углом α (рис.3.5), определяются по формулам:

Положительными величинами и формулах (3.7) и (3.8) являются растягивающие σ, предающее частицу по часовой стрелке τzу и отсчитываемый нротив хода часовой стрелки угол α.

Относительные деформации в произвольном направлении связаны с линейными и угловыми деформациями в плоскости уz (3.6) следующими

11

Отметим, что в случае нагружения частицы или, например, тонкой пластины равномерным давлением q [МПа] в плоскости уz в любой точке и по всем направлениям в этой плоскости возникают одинаковые нормальные напряжения и линейные деформации, т.е.

Замечание. Из формул (3.8) и (3.10) следует, что в этом случае касательные напряжения и углы сдвига равны нулю.

3.2.2. Главные площадки и главные напряжения в случае ПНС

Положение главных площадок и величина действующих по этим площадкам напряжений определяются по формулам

главных напряжений, σ1, σ2 или σ3 - индексы проставляются после определения численных значений с учетом, что одно из главных напряжений равно нулю (ПНС)

и 1 2 3 .

3.2.3. Экспериментальное определение напряжений при ПНС

Теоретические зависимости (3.9) и (3.6) дают возможность находить напряжения σz, σу τzу из эксперимента. В опасной точке с помощью специальных приборов (тензометров) устанавливаются относительные деформации но направлению осей , у, n (рис. 3.5 ):

тензометра.

По формуле (3.9) вычисляется относительный угол сдвига γzy. И, наконец, из выражений (3.6) определяются исходные напряжения в элементарной частице, выделенной вокруг опасной точки.

Задача 3.5. Определить, при каком соотношении между σz, σy и τzy (рис.3.5) напряженное состояние частицы материала будет линейным. Исследовать случаи, когда σz > 0, σy >0 и σz <

0, σy < 0.

Указание. В формуле (3.12) приравнять нулю одно из

Рис.3.5

главных напряжений.

Задача 3.6. При заданных условиях нагружения тонких пластин найти нормальные и касательные напряжения по нижней грани (рис.3.6, а) и в сечениях, проведенных по окружности (рис.3.6, б) и по параболе (рис.3.6, в); в двух

12

последних случаях определить точку в сечении, где действует τmax, и вычислить

для проекций всех элементарных сил на вертикаль (рис.3.6, а); для схем на рис.3.6, б, в по исходным напряжениям σz, σy, значения которых находятся из .условий

нагружения пластины, найти σα и τα, используя выражения (3.7) и (3.8). Положение точки, где действует, определяется исследованием функции τα = f(α) на экстремум.

Задача 3.7. Упругие постоянные материала тонкой пластинки (Е, μ) известны. Найти угол α, при котором удлинение элемента АВ равно нулю

(рис.3.7).

Указание. По формулам (3.6)

находим εz, εy, а затем из выражения (3.9) определяем угол α, учитывая, что εα = 0.

Задача 3.8. При каком соотношении напряжений, действующих на тонкую квадратную (рис.3.8,а) и прямоугольную (рис.3.8, б) пластинку, длины диагоналей АВ не меняются?

Указание. См. решение предыдущей задачи.

Задача 3.9. При совместном действии на элемент (рис.3.9) растягивающих и сжимающих напряжений показание тензометра составило С = 14 мм. База тензометра 0 = 100 мм, коэффициент увеличения К = 1000. Упругие константы материала - Е = 2·10 5 МПа и μ = 0,3. Каким будет показание тензометра, если с элемента снять растягивающее напряжение?

Указание. По формулам (3.6) находим εz, εy, а затем из выражения (3.9), определив вначале εα (3.13), вычислим величину σα. Далее решаем задачу о сжатии элемента напряжением, равным σраст.

3.3. Теории прочности

Чаще всего оценка прочности материала в опасной точке производится по трем теориям прочности:

I) для пластичных материалов - по теории максимальных касательных напряжений

и теории октаэдрических касательных напряжений (или энергетической)

где ν = σвр/σвс, [σ] - допускаемое напряжение при растяжении; σвр - предел

13

прочности при растяжении; σвс - предел прочности при сжатии. Отметим, что теория прочности О.Мора справедлива и для пластичных материалов - в этом случай выражение (3.16) совпадает с (3.14), т.к. ν = σТр/σТс = 1.

Коэффициенты запаса, по текучести и по разрушению определяются так:

Сравнение прочности элементарных частиц материала, находящихся в том или ином напряженном состоянии, осуществляется путем сопоставления величин эквивалентных напряжений.

Задача 3.10. Сопоставить степень опасности напряжённых состояний а), б), в) - рис.3.10 для одинакового материала.

Задача 3.11. Определить, какое напряженное состояние наиболее опасно (рис.3.11), используя теорию наибольших касательных напряжений.

Задача 3.12. Для напряженных состояний, изображенных на рис. 3.12 (напряжения даны в МПа), определить коэффициенты запаса: по текучести (рис.3.12, а) - материал сталь, σТр= σТс = 240 МПа и по разрушению (рис.3.12, б,в) - материал

ковкий чугун, σвр = 500 МПа, σвс = 1700 МПа.

Задача 3.13. Для частицы из хрупкого материала (σвр = 2·σвс) - рис.3.13 найти величину эквивалентного напряжения в функции от параметра п (- ∞< п<+∞).

14

Задача 4.1. а) Определить, какая доля внутреннего силового фактора (ВСФ) (N, Мк, Мx) передается заштрихованной частью поперечного сечения бруса (рис.4.1, а); б) Найти, какая доля N, Мк, Мx передается заштрихованной частью треугольного (рис.4.1, в), прямоугольного (рис.4.1, б) и

двутаврового (рис.4.1, г) сечений.

Указание. Отношение долей BCФ, передаваемых частями поперечного сечения, равно отношению жёсткостей этих частей (ЕА,

GJр , EJх).

Задача 4.2. Как изменится прочность бруса квадратного сечения при растяжении, кручении, изгибе, если его из положения а) повернуть в положение б)? (Рис.4.2).

Задача 4.3. При заданных условиях нагружения бруса (рис.4.3, а, б) определить величину допускаемой нагрузки, выбрав рациональное расположение таврового сечения (рис.4.3, в) при изгибе. Известно: l = 1 м, a = 0,04 м, [σр] = 60 МПа, [σс] = 100 МПа.

Указание. При растяжении-сжатии бруса (рис.4.3,а) опасной является зона сжатия; при изгибе

бруса (рис.4.3,б) рациональное расположение тавра определяется максимальным изгибающим моментом в сечении В, а величина допускаемой нагрузки находится из условия прочности по растягивающим напряжениям в сечении С.

Задача 4.4. Найти τтах и построить эпюру касательных напряжений в поперечном сечении балки, работающей на изгиб. Сечение балки имеет форму ромба (рис. 4.4).

4.2. Брус переменного сечения

Если по длине бруса размеры его поперечного сечения плавно изменяются, то с достаточной для практики точностью остаются справедливыми формулы (4.1)...(4.3), полученные для бруса постоянного сечения. Следует отменить, что опасным сечением бруса, поперечные размеры которого меняется по длине, является не то сечение где действует максимальный ВОФ, а то, где имеет место наибольшее напряжение.

Задача 4.5. По заданным условиям загружения бруса (рис.4.5, а-в) определить величину диаметра do из условия прочности. Известно: l, q, m, F, [σ],[τ].

Указание. В произвольном сечении записать выражение для максимального напряжения. Исследовать полученную функцию на экстремум и, определить σтах,

16

τтах, составить условие прочности. При изгибе бруса (кроме 4.5, в) проверять полученное значение do из условия прочности по касательным напряжениям,

приняв [τ] = 0,5·[σ].

4.3. Брус равного сопротивления

Особенностью таких брусьев переменного сечения является то, что максимальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны наперед заданным (например, [σ] или [τ]).

Задача 4.6. Из условия прочности спроектировать брусья равного сопротивления: при растяжении силой F и собственным весом (удельный вес - γ ) - рис.4.6, а; кручении (рис.4.6, б);

поперечном изгибе (рис. 4.6, в) - в последнем случае размеры сечений bo и ho на конце бруса, где изгибающий

момент близок к нулю, подобрать из условия прочности по касательным напряжениям. Известно: l, F, γ, m, b, h, [σ], [τ].

Указание. Для установления закона изменения площади поперечного сечения бруса Az (рис.4.6, а) рассмотреть условие равновесия элемента длиной dz; для схем на рис.4.6, б, в приравнять τтах и σтах в произвольном сечении соответственно [σ] и [τ].

4.4. Оптимизация конструкций

При проектировании конструкций л их элементов нужно стремиться к тому, чтобы они при прочих равных условиях обладали повышенной грузоподъемностью, имели рациональную форму с точки зрения размещения материала по сечению и уменьшения массы конструкции. Эти цели достигаются различными способами. Например, если для балки есть возможность варьировать размеры поперечного сечения получаемого из какой-то заготовки, следует выбрать эти размеры так, чтобы величины осевого момента инерции сечения и осевого момента сопротивления стали максимальными - задачи подобного рода были рассмотрены в главе 1 (задача 1.12). Примером рационального использования материала являются брусья равного сопротивления (задача 4.5). В других случаях оптимальное решение задачи достигается при равенстве внутренних усилий или напряжений в различных сечениях бруса или при условии минимизации целевой функции, например объема конструкции.

Задача 4.7. Определить величины α и β, при которых грузоподъемность балки постоянного сечения будет наибольшей (рис.4.7).

Указание. При решении схем на рис.4.7, а, б приравниваем абсолютные величины изгибающих моментов на правой опоре и в середине пролета; для определения неизвестных α и β (рис.4.7, в) составляем два условия: 1) МВ = МD и 2) изгибающий момент на правой опоре по абсолютной величине равен

17

максимальному изгибающему моменту на участке ВС.

Задача 4.8. Определить величину α, при которой масса ступенчатого бруса будет минимальной при удовлетворительной прочности. Известны: ρ - плотность, F, m0, l, [σ], [τ] (рис. 4.8).

Указание. Из условия прочности в опасных сечениях, найти размеры поперечного сечения; записать выражение для объема тела и минимизировать эту целевую функцию по переменной α.

Задача 4.9. Определить величину α, при которой суммарная масса брусьев 1 и 2, спроектированных по условию прочности, будет минимальной. Материал брусьев на рис.4.9, а, б - сталь, а на рис.4.9, в -

чугун. Задано: F , l, [σc] = n·[σp], где для стали n = 1; для чугуна n = 5. Указание. См. решение предыдущей задали.

4.5. Брус из разнородных материалов

Предполагается такое соединение разнородных материалов, при котором обеспечивается их совместная работа. Тогда в пределах упругих деформаций применима гипотеза плоских сечений. Расчёт брусьев, выполненных из материалов, имеющих разные модули упругости (Е, G), зависит от характера расположения различных материалов в брусе: симметрично относительно оси или несимметрично. Определенные особенности есть и при расчете брусьев из одного материала, но с переменным по сечению модулем упругости.

4.5.1. Брус с симметричным относительно оси расположением различных материалов

В этом случае рекомендуется определить внутреннее усилие в каждом материале (N, Мк, Мx), учитывая, что внутренний силовой фактор перераспределяется между частями сечения пропорционально их жесткостям (ЕА, GJр , EJх). Затем можно использовать обычные формулы для напряжений

(4.1...4.3) и условия прочности (4.4...4.6)(см. табл.1).

Задача 4.1.10. Брус состоит из медного сердечника 1, жестко соединенного со стальной трубкой 2 (рис.4.10). Из условия прочности определить величину допускаемой нагрузки при растяжении [F] , кручении [Мк] и чистом изгибе

[Ми], если известны d, Е2 = 2·Е1 (G2 = 2·G1), [σ2] = 1.5·[σ1]. [τ2] = 1.5·[τ1].

Указание. Определить внутренние усилия в каждом материале, учитывая замечание в начале п.4.5.1 и условие равновесия отсеченной части бруса. Далее записать условия

прочности для обоих материалов и из найденных значений допускаемой нагрузки

18

выбрать наименьшее.

4.5.2. Брус с несимметричным относительно оси расположением материалов

Особенностью работы такого бруса является его изгиб не только при действии изгибающего момента, но и при равномерное нагреве и центральном растяжении. При этом нейтральная линия в общем случае по проходит через центр тяжести течения.

Поясним порядок расчета бруса. Из рис.4.11 найдем относительное удлинение произвольного волокна ВВ:

где ε0, ρ - относительное удлинение и радиус кривизны бруса по спаю; у - расстояние от спая до волокна.

По закону Гука с учетом выражения (а) и равномерного нагрева бруса имеем:

установим ε0, ρ и формулы для определения напряжений в обоих слоях бруса.

Задача 4.11. Брус шириной b спаян из двух различных материалов (рис.4.11) ; при этом Е1 = 2·Е2, α1 = 0,75·α2. Определить напряжения, возникающие в брусе от: 1) равномерного нагрева на t°;

2)растяжения силой F, приложенной по уровню спая;

3)чистого изгиба моментом M. Для определенности взять

При использовании гипотезы плоских сечений в данном случае геометрические уравнения при растяжении, кручении, изгибе остаются такими же, как и для бруса с Е = const. В то же время нормальные и касательные напряжения зависят от переменного модуля упругости Е и G. Из интегральных зависимостей, связывающих напряжения с ВСФ, устанавливаем закон изменения относительных линейных и угловых деформаций и формулу для напряжений σ и τ.

Задача 4.12. Для бруса круглого сечения, скручиваемого моментом т, определить из условия прочности диаметр и построить эпюру касательных напряжений в поперечном сечении. Задано: закон изменения модуля сдвига (рис.4.12) и [τ].

Указание. Вывести формулу для напряжений:

19

G( ) 2 2 d

0

исследовать τ на экстремум и записать условие прочности при кручении.

4.6. Напряженно-деформированное состояние при растяжении-сжатии, кручении, изгибе

Если из бруса двумя парами продольных и парой поперечных близлежащих сечений выделить элементарную частицу, то она будет находиться в линейном напряжённом состоянии (ЛНС) при растяжении-сжатии, в напряжённом состоянии чистого сдвига (НСЧС) при кручении и плоском напряжённом состоянии (ПНС) при поперечном изгибе - рис.4.13, а-в. Заметим, что при поперечном изгибе частицы у поверхности бруса испытывают ЛНС, а на нейтральной оси - НСЧС. Для анализа напряженно-деформированного состояния элементарных частиц в указанных случаях справедливы формулы (3.6)-(3.12).

прямоугольного сечения bxh = 0,05 х 0,1 м, l = 1 м; F = 10 кН; т = 20 кН м. Для тензометров D получить решение в общем виде и числовые результаты при α = 45°.

Указание. По формулам (4.1) - (4.3) определить исходные напряжения по граням элементарных частиц, выделенных из бруса в местах установки тензометров. По формулам (3.6) и (3.9) вычислить εz, εу, γzy, εα. Далее из выражения (3.13) найти величину Сi.

Задача 4.14. Определить, насколько изменится прямой угол BCD, если брус загрузить силой F = 10 кН или моментом т = 20 кН м. Размеры бруса в

метрах указаны на рис.4.14, а-в. Материал - сталь, Е = 2·105 МПа; μ = 0,25. Указание. См. решение предыдущей задачи.

Задача 4.15. При заданном загружении круглого бруса длиной l и диаметром d определить удлинение винтовой линии, касательная к которой

составляет с образующей угол α = 45°. Упругие постоянные Е и μ известны. Указание. В произвольной точке винтовой линия находим деформацию εα

(см. решение задачи 4.13) - учесть, что для схем на рис. 4.15, а, б εα = const, а для схемы на рис. 4.15, в - εα зависит от расстояния у данной точки до нейтральной оси

20