Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mat_analiz_dif_ischis_2012 (1).doc

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

6.3 Условный экстремум функции двух переменных

Пусть необходимо найти экстремум функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0.

Функция z=f(x,y) называется целевой функцией.

Первый метод решения – метод подстановки, применяется, когда из уравнения g(x,y)=0 можно выразить переменную y=φ(x) и подставить ее в целевую функцию. Таким образом, решение сводится к нахождению экстремума функции одной переменной.

Второй метод – метод множителей Лагранжа, используется, когда нельзя явно выразить y из условия g(x,y)=0. В этом случае, для решения вводится новая функция Лагранжа.

где λ – неопределенный множитель, новая переменная.

Затем находится экстремум этой функции от трех переменных.

Решая эту систему, получают значения критической точки условного экстремума функции z=f(x,y).

После этого определяется максимум или минимум функции z=f(x,y) в этой точке по смыслу задачи.

Пример 6.3.

Найти экстремумы функции при условии.

Решение.

Выразим переменную у из условия и подставим в функцию:

; .

Получим функцию одной переменной. Найдем ее экстремум.

; ,.

Так как вторая производная , то найденная точка - точка минимума.

Следовательно, функция имеет условный минимум в точке, который равен.

Пример 6.4. На 2 товара - Кириешки () и чипсы () Сергей тратит в месяц 120 руб. Определить оптимальный выбор, если его функция полезности.

Решение.

Необходимо найти максимум функции при условии. Воспользуемся функцией Лагранжа.

Найдем частные производные от функции Лагранжа:

Решаем полученную систему.

Таким образом, оптимальный выбор составит 4 ед. Кириешки и 8 ед. чипсов, при этом оптимальное значение функции полезности составит 49152.

7 Варианты контрольной работы

Вариант 0

1. Вычислить предел функции

а) ;

б) ;

в) .

2. Вычислить производную функции

a) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Исследовать функцию и построить график .

4. На 2 товара - кириешки (руб.) и чипсы (руб.) Сергей тратит в месяц 120 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.

Вариант 1

1. Вычислить предел функции

а) ;

б) ;

в) ;

2. Вычислить производную функции

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

3. Исследовать функцию и построить график .

4. На 2 товара - колбасу (руб.) и сыр (руб.) Сергей тратит в месяц 300 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.

Вариант 2

1. Вычислить предел функции

а) ;

б)

в) .

2. Вычислить производную функции

а);	б) ;
в) ;	г).

3. Исследовать функцию и построить график .

4. Средняя семья тратит 30 долл. в месяц на рыбу и хлеб. Цена рыбы - 5 долл., цена батона хлеба- 1 долл. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности имеет вид:.

Вариант 3

1. Вычислить предел функции

а) ;

б) ;

в)

2. Вычислить производную функции

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

3. Исследовать функцию и построить график .

4. На 2 товара - компакт-диски (руб.) и аудиокассеты (руб.) Влад тратит в год 1000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.

Вариант 4

1. Вычислить предел функции

а);

б);

в).

2. Вычислить производную функции

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

3. Исследовать функцию и построить график .

4. За месяц студент расходует на апельсины и бананы 100 рублей. Цена одного апельсина 5 р, а цена одного банана2 р. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезностиu=10ху.

Вариант 5

1. Вычислить предел функции

а) ;

б) ;

в) .

2. Вычислить производную функции

а);	б);	в);
г)

3. Исследовать функцию и построить график .

4. На 2 товара – видеокассеты и аудиокассеты Олег тратит еженедельно 50 руб. Цена видеокассеты 15 руб., цена аудиокассеты

5 руб. Определить набор кассет, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности u = 2xy.

Вариант 6

1. Вычислить предел функции

а) ;

б) ;

в) .

2. Вычислить производную функции

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

3. Исследовать функцию и построить график .

4. На два товара – молоко и хлеб Иван тратит 200 ден. ед. в месяц. Цена молока – 20 ден. ед., хлеба – 15. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .

Вариант 7

1. Вычислить предел функции

а);

б) ;

в) .

2. Вычислить производную функции

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

3. Исследовать функцию и построить график .

4. Ольга тратит еженедельно 200 руб. на бананы и пепси-колу. Цена 1 кг бананов –30 руб., 1 л пепси – 20 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .

Вариант 8

1. Вычислить предел функции

а);

б);

в)

2. Вычислить производную функции

а) ;	б) ;
г) ;	г) .

3. Исследовать функцию и построить график .

4. На 2 товара - мясо (руб.) и сыр (руб.) Оля тратит в месяц 3000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.

Вариант 9

1. Вычислить предел функции

а) ;

б) ;

в) .

2. Вычислить производную функции

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

3. Исследовать функцию и построить график .

4. На 2 товара - яблоки (руб.) и сливы (руб.) Оксана тратит в месяц 500 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.

8 Методические указания для выполнения

контрольной работы

Пример 8.1. Вычислить предел функции .

Решение. В данном примере имеем неопределенность вида .

Преобразуем выражение:

В результате преобразований получили неопределенность вида . Для вычисления предела разделим оба многочлена наx в старшей степени, то есть на, получим

Здесь учитывается, что .

Ответ:.

Пример 8.2. Вычислить предел функции .

Решение. Подставляяполучим неопределенность:

Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни квадратных уравнений:

Получим:

Сократим на общий множитель и получим

Ответ:

При решении примера 2 можно было воспользоваться правилом Лопиталя:

Пример 8.3. Вычислить предел функции .

Решение. Подставляяполучим неопределенность:

Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:

В результате получаем

Здесь учитывается второй замечательный предел .

При решении примера 8.3 можно было дважды воспользоваться правилом Лопиталя:

Пример 8.4. Вычислить производную функции

Решение. Преобразуем иррациональные и дробные выражения, используя формулы

Воспользуемся правилами нахождения производной и таблицей производных, получим:

Ответ:

Пример 8.5. Вычислить производную функции .

Решение. Воспользуемся правилом нахождения производной от произведения двух функций

Производная функции определяется по таблице производных, а для определения производной функциивоспользуемся правилом нахождения производной от сложной функции.

В итоге получим

Ответ: .

Пример 8.6. Вычислить производную функции .

Решение.

Воспользуемся правилом нахождения производной от частного двух функций и таблицей производных

Ответ:

Пример 8.7. Вычислить производную функции .

Решение.

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции и таблицей производных.

Обозначим ,, тогда получим.

Ответ:

Пример 8.8. Исследовать функцию и построить график

Решение.

1) Функция определена при всех значениях кроме, то есть в интервалах.

2) График функции пересекает ось Ох в точках, в которых, так как дискриминант данного квадратного уравнения, то точек пересечения с осьюОx у данной функции нет.

С осью Оу функция пересекается при , тогда. Таким образом точка (0;2) – точка пересечения с осьюОу.

3) Вертикальной асимптотой является прямая , так как

Найдем наклонную асимптоту :

Таким образом, - наклонная асимптота.

4) Проверим четность, нечетность функции:

Так как , то функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому у графика нет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.