5.2 Понятие эластичности

Для решения экономических задач используется понятие эластичности функции, связанное с производной.

Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функцииy к относительному приращению переменной x при

,

где маржинальная (предельная) величина, равная производной функции по независимой переменной;

средняя величина, равная отношению функции к независимой переменной.

Эластичность функции y по переменной x показывает, на сколько процентов изменится функция при изменении переменной x на один процент.

Эластичность функции обладает следующими свойствами.

1. Эластичность безразмерная величина.

2. Эластичности обратных функций – обратные величины

3. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей от этих функций

4. Эластичность дроби двух функций равна эластичности числителя минус эластичность знаменателя

5. Эластичность суммы двух функций определяется по формуле.

Пример 5.1. Найти эластичность линейной функции .

Решение.

Пример 5.2.Рынок винограда в Москве может быть описан такими функциями спроса и предложения. Чему равна ценовая эластичность спроса и предложения винограда в Москве, если рынок находится в равновесии?

Решение.

Ценовые эластичности находим в точке равновесия. Равновесие определяется равенствами спроса и предложения товара :

600-10P = 320+4P

Откуда получаем равновесный объем продаж Q* = 400 и равновесную цену Р* = 20

Ценовая эластичность спроса равна:

Ценовая эластичность предложения равна:

Пример 5.3. Зависимость между спросом и ценой единицы продукции, задается соотношением . Найти эластичность спроса и дать рекомендации о цене единицы продукции приден. ед. иден. ед.

Решение. Найдем эластичность спроса по цене:

.

При ден. ед. эластичность спроса будет равна

Так как , то при цене единицы продукции в 100 ден. ед., спрос является неэластичным и можно повысить цену продукции.

При ден. ед. эластичность спроса будет равна

Так как , то при цене единицы продукции в 225 ден. ед., спрос является эластичным и целесообразно рассмотреть предложение о понижении цены.

5.3 Оптимальное значение экономических функций

В экономике часто требуется найти наилучшее в том или ином смысле, или оптимальное, значение того или иного показателя: максимальное значение прибыли, производительности оборудования или труда, минимальное значение стоимости, издержек, затрат времени и т.д.

Нахождение оптимального значения показателя при этом сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции от одной или нескольких переменных.

Пример 5.3.

Производитель реализует свою продукцию по цене 60 ден.ед. за единицу продукции. Издержки производителя определяются кубической зависимостью , где- количество изготовленной и реализованной продукции. Найти оптимальный объем выпуска и соответствующий ему доход.

Решение.

Доход определяется разностью между выручкой за проданную продукцию 60х и ее себестоимостью, т.е.

.

Для определения оптимального объема выпуска найдем производную этой функции, приравняем ее к нулю и получим уравнение

; .

Отрицательный корень не имеет экономического смысла, поэтому для дальнейшего исследования принимаем . Вторая производная в исследуемой точке

является отрицательной, т.е. в этой точке имеет место максимум функции. Таким образом, оптимальный объем выпуска равен 100 единицам продукции. Доход, соответствующий оптимальному выпуску,

ден.ед.