1 Понятие функции

Математика - это наука о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира. К основным понятиям математики относится понятие - величина. Под величиной понимается все, что может быть измерено в окружающем нас мире. В математике безразлична физическая сущность величины. Поэтому выводы математики применимы ко всем величинам вообще. Величины бывают постоянные и переменные. Между переменными величинами может существовать функциональная зависимость.

Переменная величина y называется функцией от переменной величины x ,если каждому значению величины x по некоторому правилу ставится в соответствие определенное значение величины y.

Это обозначается, как , при этом величинаx называется независимой переменной (аргументом), а y - зависимой переменной, или функцией от .

Каждая функция имеет свою область определения, под которой понимается множество всех возможных значений аргумента.

Пример 1.1. Найти область определения функции

.

Решение. Так как функция представляет собой сумму функций, то область определения функции будет состоять из всех тех значений , которые принадлежат одновременно области определения функцийи. Поэтому область определения данной функции определяется как совокупность значений, при которых одновременно выполняются неравенстваи. Это будет значение.

Существует три способа задания функций.

1.Аналитический способ задания функции состоит в том, что соответствие между переменными задается с помощью формулы, например,

, .

В общем виде это записывается как или. Во втором случае говорят, что функциязадана неявно.

Функция называется сложной, если ее аргумент сам является функцией: .

В этом случае называется промежуточным аргументом.

Пример 1.2. Представить сложную функцию в виде цепочки элементарных функций.

Решение. Пусть , тогда получим элементарную функцию.

Пусть на некотором множестве Х задана функция у = f(x) и Y - область значения данной функции.

Возьмем некоторое число . Тогда найдется такое число(возможно не единственное), чтоТаким образом, каждому значениюпоставлено в соответствие число(возможно не единственное). Если такое число- единственное, то говорят, что задана функциях = g(y), которая называется функцией обратной к данной. Например, функция имеет обратную функцию.

2.Табличный способ задания функции состоит в том, что соответствие между переменными задается в виде таблицы.

Например,

x	1	2	3	4	5	6	7	8
y	1	4	9	16	25	36	49	64

Эту же функцию можно записать формулой y=x².

3.Графический способ задания функции состоит в том, что соответствие между переменными задается в виде графика (рисунок 1.1).

а) б) Рисунок 1.1 – График функции : а)- возрастающая функция, б) - убывающая функция

График функции может быть симметричен относительно оси Y, если она четная, т.е. f(-x)=f(x). График функции может быть симметричен относительно начала координат, если она нечетная т.е. f(-x)=-f(x).