5. Корреляционный анализ

А) Определение коэффициента корреляции.

Основная задача - определение и выражение формы аналитической зависимости результативного признака У от факторного X и измерение тесноты связи. Изучение отношения между признаками - главная задача научных исследований. Взаимосвязь явлений и их признаков является главной задачей корреляционного анализа. "Корреляция" означает соответствие, соотношение, сопоставление. При обработке статистических данных необходимо проследить изменение признака одного от другого, то есть найти уравнение связи, а также тесноту связи и коэффициент корреляции r.

, где D- коэффициент детерминации (доля соотношений признаков X и У в коэффициенте корреляции).

0< |r| <1

-1< r <1.

Б) Расчёты при простом корреляционном анализе.

Тесной называется связь, где отклонение от линии корреляции меньше. Ввиду различия степени корреляционной зависимости возникает необходимость в специальном измерителе тесноты связи. Изучая зависимость явлений, мы видим, что на результаты влияют несколько факторов. Необходимо определить роль каждого фактора в корреляционном анализе. В широком смысле она сводится к выравниванию эмпирической зависимости между X и У и нахождению коэффициента корреляции. Математическим средством выравнивания этой зависимости является метод наименьших квадратов. Сумма квадратов отклонений сводится к минимуму, то есть Необходимое условие для нахождения коэффициента корреляции через параметры а и b - это приравнивание частных производных к нулю, тоесть

и . Однако для положительной квадратической функции это является и достаточным условием для нахождения параметра a и b.

При прямолинейной связи (уравнение у=а+bх) параметры корреляционного анализа находятся по способу наименьших квадратов из системы уравнений

(1):

,

(Если зависимость параболическая, то соответственно три производные и три

параметра).

Разделив каждый член системы на п, получим систему (2):

Решив эту систему относительно а и Ь, получим . Подставив b в систему уравнений (2), получим значение коэффициента корреляции:

или

Значением коэффициента корреляции может быть выражение:

Коэффициент корреляции измеряется случайной среднеквадратической погрешностью:

Для измерения надёжности коэффициента корреляции используется формула:

В) Статистическая оценка тесноты связи.

Существуют критерии оценки коэффициента корреляции:

1) Критерий Пирсона

где

S² - погрешность выборки,

- погрешность генеральной совокупности.

Если , корреляционная связь тесная;

Еслиц , корреляционная связь отсутствует.

Здесь

, p - количество изучаемых параметров.

,n – число наблюдений.

2) Крйтерий Фишера табулирован

Если F_ф> F_кр, то модель оптимальна, и связь существует. Если наоборот, ищем другую модель: показательную, гиперболическую, степенную.

6. Индексный анализ

А) Вводная часть

Индексный метод в статистических исследованиях

Показатели индексного метода используются в экономических, ведомственных разработках. В зависимости от характера изучаемого явления вычисляются индексы объёмных и качественных показателей. Индексы объемных показателей характеризуют изменение объёма, поступления и реализации товара, уровня товарных запасов. Индексы качественных показателей характеризуют изменение цен, издержек обращения, производительности труда, прибыли, себестоимости, товарооборота. Основой индексного метода является переход от натуральной вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным измерителям. Посредством денежного выражения стоимости отдельных товаров устраняется несравнимость некоторых показателей и достигается единство.

Б) Построение индексов

Индивидуальные и общие индексы

В зависимсости от степени обобщения единиц изучаемой совокупности, индексы делятся на индивидуальные и общие. Индвивидуальные индексы характеризуют изменения отдельных единиц статистической совокупности (например, по заработной плате, рабочей силе и т.д.). Общие индексы выражают сводные (обобщающие) результаты совместного изменения всех единиц, образующих генеральную совокупность.

Важнейшей особенностью общих индексов являются их свойства.

1.) синтетические;

2) аналитические.

Синтетические свойства состоят в том, что с помощью индексного метода производится агрегирование (соединение) всех разнородных единиц статистической совокупности. Аналитические индексы заключаются в том, что с помощью индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя на их взаимодействие, и становится возможным управлять экономическими процессами в нужном направлении. Для определения индекса надо сопоставлять не менее двух величин. При изучении динамики социально-экономических явлений сравниваются величины за текущий (отчётаый) и базисный периоды. Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина, т.е. значение признака статистической совокупности, изменение которого является объектом изучения. Индивидуальными индексами являются:

I_р=р₁/р₀, где р₁ и р_о - цены за единицу товара в текущем и базисном периодах. I_q=q₁/q₀, где q₁ и q₀ - количество продаж товаров в текущем и базовом периодах.

Результаты расчётов выражаются в коэффициентах или в процентах.

Индивидуальные формы

Общие индексы могуг исчисляться как по агрегатной форме, так и по форме средних, величин (среднеарифметической, средневзвешенной, среднегеометрической, среднегармонической). Выбор формы среднего индекса зависит от характера исходных данных.

В) Агрегатные индексы

Основной формой общего индекса являются агрегатные индексы (от лат. Aggrega-«соединяю»). В числителе и знаменателе общего индекса содержатся наборы (соединения) элементов изучаемого статистического явления. Сопоставимость разнородных единиц достигается введением в индексные отношения специальных сомножителей индексируемых величин-соизмерителей, которые позволяют перейти от натуральных измерений разнородных величин к однородным показателям. В числителе и знаменателе общих индексов изменяются лишь значения индексируемых величин, а их соизмерители = постоянные величины, которые фиксируются на одном (текущем, базисном) уровне. В качестве измерителя индексируемых величин выступают экономические цоказатели.

Разновеликие изменения индивидуальных индексов обуславливают необходимое при их обобщении определения общего индекса для данного изменения цен и количества реализованной продукции. Для этого вычисляют соответственные общие индексы в агрегатной форме.

Аграгатная форма индекса цен предложена немецким экономистом Пааше.

- сумма стоимости продаж в текущем периоде по текущим ценам.

- сумма стоимости продаж товара текущего периода по ценам базисного периода.

Сойзмёрители здесь - цены р₁ и р₀.

При сравнении числителя и знаменателя в разности (абсолютное изменение) определяется показатель абсолютного прироста товарооборота за счёт фактора изменения цен в текущем периоде р₁.

.

При другом способе определения агрегатного индекса I в качестве соизмерителя индексируемых величин р₁ и р₀ могут применяться данные о количестве реализуемых товаров в базисном периоде q₀. Такой индекс называется индексом Ласперейса.

.

Показатель прироста товарооборота в базисном и текущем периодах определяется следующим образом:

.

Таким образом, расчёты, выполненные по формулам Пааше и Ласперейса, имеют разные показания индекса цен. Это объясняется тем, что индкесы Пааше и Ласперейса показывают разные качественные изменения цен. Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров в отчётном периоде. А индекс Ласперейса показывает влияние изменения цен на стоимость количества товаров, реализуемых в базисном периоде. Другими словами, применение индексов Пааше и Ласперейса зависит от поставленной задачи. При синтезировании общего индекса цен вместо фактического количества товаров в отчётный или базисный периоды в качестве соизмерителей применяются средние величины реализации товаров за два или более периодов. Такой индекс носит название индекса Лоу:

, где

или по взвешенной формуле

Индекс цен Лоу применяется в расчётах при закупках и реализации товара в течение очень продолжительного периода времени (5-10 лет и т.д.). Этот метод даёт анализ цен с учётом изменений ассортимента товара в суперпериодах.

Большое значение имеет определение цен по ограниченному кругу, т.е. определение наиболее важных товаров, составляющих потребительскую корзину. Рассматриваемая методика определения цен с помощью индексов Паше, Ласперейса, Лоу может применяться в агрегатной форме и к другим индексам качественных показателей. К другим важным видам общих индексов относится индекс, показывающий изменение физического объёма товарной массы.

При определении агрегатного индекса физического объём в качестве соизмерителя индексируемых величин q₁ и q₀ выступают цены базисного периода q₀. В числителе - сумма стоимости товарной массы текущего периода в ценах базисного. А знаменатель - сумма стоимости товарной массы в базисных ценах базисного периода.

При сравнении (разности) товарооборотом, получаем показатель, характеризующий сумму прироста товарооборота в текущем периоде по сравнению с базисным товарооборотом в сопоставимых базисных ценах.

.

Агрегатный индекс изменения физического объема товарооборота определяется при использовании соизмерителей q₁ и q₀ цен текущего периода.

При определении агрегатных индексов изменения физического объёма товарной массы получаются разные значения, обусловленные применением различных весов-соизмерителей. При индексном анализе коммерческой деятельности следует учитывать, что факторы, влияющие на объём товарооборота, действуют одновременно. Тождественность расчёта прироста товарооборота по вышеперечисленным формулам возможна лишь при применении особой системы весов соизмерителей.

Индекс плановой реализации:

.

Определение агрегатных индексов используется при контроле за исполнением плановых заданий. Для определения уровня выполнения плана сопоставляется сумма фактической продажи товарной массы в отчётном периоде и величина планового задания в тех же сопоставимых ценах.

Индекс плановой реализации:

.

Существует связь индексов:

.

Значение индекса I_{q план}: на его основе выявляется влияние отдельных факторов I_p и I_q на изменение товарооборота.