3.3 Импульсные характеристики

Функция Хэвисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, 1(t)) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных – рис.3.4.

Рис. 3.4 Функция единичного скачка 1(t) (функция Хэвисайда)

Другое распространённое определение:

Реакцию элемента или системы на входную величину в виде функции единичного скачка 1(t) называют переходной характеристикой (переходной функцией) h(t) элемента или системы. Изображение по Лапласу H = H(p) переходной характеристики h(t) определяется выражением

(3.16)

где W = W(s) – передаточная функция элемента или системы; 1/s – изображение по Лапласу функции единичного скачка 1(t).

Импульсная функция Дирака – это импульс с бесконечной амплитудой и бесконечно малой шириной, площадь которого принимают равной 1.

Для автоматических систем функция веса является менее распространенным видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая функция.

3.4 Частотные характеристики

Для оценки установившихся (стационарных) режимов более удобно рассматривать поведение элементов и систем при воздействиях, которые являются периодическими функциями времени.

Гармонические воздействия выбирают вследствие нескольких обстоятельств.

Во-первых, большинство реально встречающихся воздействий может быть представлено в виде суммы гармоник различных частот.

Во-вторых, в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными элементами и системами без искажений.

В-третьих, не возникает затруднений в экспериментальном исследовании поведения линейных элементов и систем при гармонических воздействиях.

Отношение

(3.19)

и разность

(3.20)

называют соответственно амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками рассматриваемого элемента или системы.

Несмотря на простую связь между операторной W(s) и комплексной W(jω) функциями передачи между ними имеется принципиальные различия. Первая связывает реакцию и воздействие в наиболее общем случае переходных колебаний, а вторая – в частном режиме установившихся гармонических колебаний:

Функция при каждом значении частотыω является комплексной величиной, и поэтому может быть представлена в показательном виде

, (3.21)

Функция (3.21) также может быть представлена в алгебраическом виде:

(3.22)

где называют соответственно действительной (вещественной) и мнимой частотными характеристиками.

Годограф функции при изменении частоты ω от нуля до бесконечности представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) – рис.3.5.

Рис.3.5

Такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики, а это неудобно.

На основании равенств (3.21) и (3.22) легко показать связь частотных характеристик между собой:

(3.23)

Вещественная частотная характеристика есть четная функция частоты ω, а мнимая частотная характеристика – нечетная функция:

Однако, построение такой характеристики вызывает определенные трудности.

Логарифмическая амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики — это представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. Ее строят в виде двух графиков: логарифмических амплитудно-частотной характеристики и фазочастотной характеристики, которые обычно располагаются друг под другом. Разбиение АФЧХ или диаграммы Найквиста на два графика резко упрощает ее построение и повышает наглядность описания.

При построении логарифмических АЧХ (ЛАЧХ или ЛАХ) по оси абсцисс откладывают безразмерную частоту в логарифмическом масштабе. Это означает, что частота нормирована к какому-то своему значению, например, к частоте 1Гц, к частоте среза системы ω₀ и т.д. Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, поскольку Поэтому ось ординат может пересекать ось абсцисс в любой удобной точке.

По оси ординат ЛАХ откладывают в равномерном масштабе логарифмическую амплитуду т.е. нормированный, например, к единице коэффициент передачи, выраженный в дБ. Нуль логарифмической амплитуды соответствует единичному усилению ().

У логарифмической ФЧХ такая же ось абсцисс "безразмерных" частот, а по оси ординат отложена фаза в градусах или радианах.

Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев системы сложением, что вытекает из свойства логарифма:

.

Основная идея ЛАЧХ основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции

,

то:

Отметим обратную зависимость между полюсом и нулем. Амплитуда для нуля пропорциональна ω⁺¹, и наклон его графика в логарифмическом масштабе равен +1, а амплитуда для полюса пропорциональна ω ^–1, и наклон его графика равен –1. Аналогично фаза для полюса противоположна по знаку фазе для нуля.

Построить ЛАЧХ можно используя следующие правила:

• на каждой частоте ω, где ω = ω_m (нуль), наклон линии увеличивается на дБ на декаду изменения частоты (0, + 1, + 2,…).

• на каждой частоте ω, где ω = ω_n (полюс), наклон линии уменьшается на дБ на декаду изменения частоты (0, - 1, - 2,…).

Рис.3.6

Например, для звена пропорционально-дифференцирующего фильтра

,

Ψ = – arctg(ωΤ) + arctg(αωT)

где Для звена пропорционально-интегрирующего фильтра

,

где

Ψ = – arctg(ωΤ₁) + arctg(ωT₂).

Разумеется, аппроксимация гладких кривых (рис.3.8) отрезками прямых и полубесконечных прямых линий есть некоторое приближение. Ошибка аппроксимации максимальна в точке излома и для звеньев первого порядка не превышает 3дБ. При октавной отстройке ошибка уменьшается до 0,97дБ, при отстройке от частоты излома на две октавы ошибка не превысит 0,26дБ и т.д.

Фазовые характеристики аппроксимируют гораздо реже – рис.3.9.

Рис.3.7 Реальные ЛАХ ПДФ и ПИФ

Рис. 3.9 Реальные ЛФХ ПДФ и ПИФ