Ю.А. Никитин

Курс СТУ. Тема 3

Двухкаскадный усилитель можно охватить как минимум тремя обратными связями, трехкаскадный – пятью ООС и т.д. – рис.3.1.

3.1 Математическое описание элементов

На практике широко используют представление элементов САР в виде их передаточных функции, которые являются специфической записью линейных дифференциальных уравнений и позволяют давать математическое описание систем в виде наглядных структурных схем. Понятие о передаточных функциях и их определение основывается на преобразовании Лапласа.

Передаточные функции, структурные схемы, временные и частотные характеристики, а также типовые динамические звенья составляют основу того математического аппарата, который используют в теории автоматического регулирования.

Этот математический аппарат позволяют проводить анализ и синтез САР без интегрирования дифференциальных уравнений и непосредственного исследования их решений.

Вводя в нелинейные уравнения процесса управления не абсолютные значения переменных, а их отклонения, можно перейти к линейным уравнениям в приращениях.

Линеаризация уравнений и их запись в приращениях позволяют получить нулевые начальные условия.

В общем случае для приведения уравнений к форме в конечных приращениях используют формулу разложения аналитической функции в ряд Тейлора; также считают, что движение происходит в пределах малых отклонений от установившегося состояния, а производные имеют единственное и конечное значение, отличное от нуля.

Для непрерывной функции Y = f(x), имеющей n непрерывных производных в окрестностях точки устойчивого равновесия

,

формула Тейлора имеет вид:

(3.1)

(3.2)

где – производная функции по входной переменной, которую определяют, как тангенс угла наклона α статической характеристики элемента в заданной точке (A, X₀) – рис.3.2.

Формула (3.2) представляет собой уравнение в приращениях; ее можно применять к линейным и нелинейным аналитическим функциям.

Линеаризация нелинейной функции методом малых отклонений означает замену кривой в точке устойчивого равновесия касательной к этой кривой.

При записи уравнения обычно используют оператор дифференцирования p или , который формально считают алгебраической величиной. При этом, ….

Для примера, запишем линейное дифференциальное уравнение второго порядка следующим образом

(3.3)

,

– линейные дифференциальные операторы.

Если к однокоординатной САР приложено задающее воздействие g = g(t) и возмущение (помеха) f = f(t), то ее уравнение в общем случае можно записать в виде:

, (3.4)

где

– линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, причем

Для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами выполняется чрезвычайно важный принцип суперпозиции. Он заключается в том, что каждая входная величина (заданная функция времени) создает составляющую выходной величины (искомой функции времени) независимо

- от наличия и характера изменения других входных величин;

- от начальных условий.

При этом начальные условия вызывают переходный процесс, который не зависит от входных величин.

Решение y = y(t) уравнения (3.4) равно сумме трех составляющих

где есть решения неоднородных уравненийипри нулевых начальных условиях, аесть решение однородного уравнения

(3.5)

при заданных начальных условиях. Последнюю составляющую называют свободной составляющей и определяют значениями корней характеристического уравнения

, (3.6)

где s – комплексная величина.

Общее решение однородного уравнения (3.5) представляет собой сумму частных решений, которые зависят от корней характеристического уравнения (3.6):

каждому вещественному корню соответствует частное решение вида

; (3.7)

каждому вещественному корню кратности ν соответствует ν частных решений

…+; (3.8)

каждой паре сопряженных комплексных корней исоответствуют два частных решения

(3.9)

каждой паре сопряженных комплексных корней икратности μ соответствует 2μ частных решений

(3.10)