3.2 Передаточные функции

Передаточной функцией элемента САР называют отношение изображений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. Поэтому для определения передаточной функции элемента вначале необходимо преобразовать по Лапласу при нулевых начальных условиях дифференциальное уравнение этого элемента.

Подвергнем преобразованию Лапласа при нулевых начальных условиях левую и правую часть уравнения (3.3):

(3.11)

Уравнение (3.11) является алгебраическим. Его также называют операторным. Анализ типичного уравнения (3.11) показывает, что:

— для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами (мы будем рассматривать только такие объекты) передаточная функция — это дробно-рациональная функциякомплексной переменной ;

— знаменательпередаточной функции — этохарактеристический полиномсистемы.Полюсыпередаточной функции — это корни соответствующего характеристического полинома;

— в физически реализуемых системахпорядокчислителяпередаточной функциине может превышать порядка её знаменателя;

— импульсная переходная функцияпредставляет собой оригинал (преобразование Лапласа) для передаточной функции.

Из сопоставления уравнений (3.11) и (3.3) можно сделать следующий вывод: формально преобразование по Лапласу при нулевых начальных условиях линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами заключается в замене оператора дифференцирования p комплексной величиной s и функций времени их изображениями.

Из (3.11), положив V = 0 получим передаточную функцию рассматриваемого элемента относительно задающего (входного) воздействия u:

(3.12)

Передаточные функции элементов инвариантны входному воздействию.

Передаточные функции зависят лишь от вида (порядка) дифференциального уравнения и от значения параметров элементов (коэффициентов) дифференциального уравнения.

Передаточные функции полностью характеризуют преобразование входных воздействий в вынужденное движение элемента. Они позволяют определить его временные и частотные характеристики.

На основании выражений (3.12) и (3.13) можно записать:

(3.14)

Наиболее полной характеристикой качества системы регулирования является ошибка Поскольку в соответствии с (3.14) для входного (задающего) воздействияа

то можно записать

.

При нормировании относительно входного воздействия получим

(3.15)

Установившуюся ошибку на выходе САР можно представить в виде ряда

Здесь - передаточная функция САР, а коэффициентыназывают коэффициентами ошибки по задающему воздействию. Первые три коэффициентаимеют названия:

- коэффициент позиционной ошибки (ошибки по задающему воздействию),

- коэффициент ошибки по скорости (ошибки по первой производной задающего воздействия),

- коэффициент ошибки по ускорению (ошибки по второй производной задающего воздействия).

САР называют статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если статическая ошибка равна нулю.

Говорят, что астатическая система относительно задающего воздействия обладает астатизмом r-го порядка, если

Усилительный каскад на ОУ является статической САР с конечной ошибкой по входному воздействию:

и

.