Salnikov_A_P_Teoria_elektricheskoy_svyazi_Kons

иметь в виду действие X(t) на сопротивлении 1 Ом.

Для стационарных случайных процессов на интервале Т рассмот-

называемую также энергетическим спектром процесса X(t). Энергетический спектр стационарного случайного процесса и его

корреляционная функция связаны между собой интегральными преобразованиями Фурье, что было строго доказано А.Я. Хинчиным и Н. Винером (теорема Винера-Хинчина)

Рассмотрим нестрогое доказательство этой теоремы с прозрачным смыслом. Исходя из вышеприведенного определения энергетического спектра, имеем

(после замены усреднения по ансамблю усреднением по времени)

11

B(η)e j 2 fηdη ,

что и требовалось доказать.

Свойства энергетических спектров случайных процессов

1. GX ( f ) 0 , что непосредственно следует из его определения (4.1). Из этого факта и соотношения (4.3) вытекает важное следствие для корреляционной функции BX ( ) – она является положительно определенной, т.е. имеет неотрицательное преобразование Фурье.

2. GX ( f ) – четная функция.

На этом свойстве основано понятие одностороннего энергетического спектра, существующего только в области положительных частот

Примеры энергетических спектров некоторых стационарных СП:

1. Квазибелый шум NF(t)

Энергетический спектр такого процесса ( N N2O ) равномерен в ограниченной полосе частот (–F, +F) (рис. 4.3).

12

δ(η) e j 2πfηdf .

Из этих результатов вытекает статистическая независимость любых сколь угодно близких сечений такого процесса и его неограниченная дисперсия (мощность)

D[N (t)] ζ2 PN Nδ(0) N2O δ(0) .

BN( )

N2O δ(η)

3. Синхронный телеграфный сигнал X(t)

Синхронный телеграфный сигнал (CТС) представляет собой стационарный дискретный случайный процесс, принимающий на тактовых интервалах длительностью Т значения +h с вероятностью Р(0) или –h с вероятностью Р(1). Возможная реализация такого процесса показана на рис. 4.7.

x(t) h

t

-h

Рис. 4.7. К расчету корреляционной функции телеграфного сигнала

14

Графики корреляционной функции и энергетического спектра синхронного телеграфного сигнала приведены на рис. 4.8.

–T 0 +T –2/T –1/T 0 1/T 2/T f

Рис. 4.8. Корреляционная функция (а) и энергетический спектр (б) синхронного телеграфного сигнала

Контрольные вопросы

1.Дайте определение случайного процесса (СП).

2.Каким образом дают исчерпывающее описание произвольного СП?

3.Каков смысл и размерность n-мерной функции распределения СП?

4.Каков смысл и размерность n-мерной плотности вероятности СП?

5.Как связаны функция распределения и плотность вероятности между собой?

6.Дайте определение математическому ожиданию СП и укажите его размерность и сущность как математического объекта.

7.Дайте определение дисперсии СП и укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

8.Как осуществляют центрирование СП?

9.Определите функцию корреляции СП.

10.Какие СП называют стационарными в широком и узком смыслах?

11.Какие СП называют эргодическими?

12.Дайте определение постоянной составляющей СП, укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

13.Дайте определение мощности СП, укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

14.Какие СП называют нормальными (гуссовскими)?

16

15.Что понимают под временем корреляции СП?

16.Укажите основные свойства корреляционной функции стационарных СП?

17.Дайте определение спектральной плотности энергии СП и укажите ее размерность.

18.Дайте определение спектральной плотности мощности (энергетическому спектру) СП и укажите ее размерность.

19.Каковы связи между корреляционной функцией и энергетическим спектром стационарных СП?

20.Укажите основные свойства энергетического спектра стационарных СП.

21.Какой СП называют белым шумом? Укажите основные его свойства.

22.Какой СП называют квазибелым шумом? Укажите основные его свойства.

23.Какой СП называют синхронным телеграфным сигналом? Какова его корреляционная функция?

24.Как выглядит энергетический спектр синхронного телеграфного сигнала?

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований случайных процессов

Для закрепления полученных при изучении раздела 4 знаний на базе виртуальной лаборатории можно провести экспериментальные исследования случайных процессов используя:

осциллограф – для наблюдения реализаций СП во временной области,

анализатор спектра – для наблюдения реализаций СП в частотной области,

анализатор уровней – для наблюдения плотности вероятности,

коррелометр – для наблюдения корреляционных функций.

Целесообразно работать в рамках конфигурации лабораторного стола по темам работ №2 и №19. Источником СП с равномерным и нормальным распределением может служить генератор сигнала (в режиме генератора шума) (рис. 4.9) и соответствующие подпункты меню «Сигналы» (рис. 4.10).

Рекомендуется выполнить лабораторную работу №19 в полном объеме (рис. 4.10). Обратите внимание на связь размеров «шумовой дорожки» на экране осциллографа с эффективным значением шума и

17

на связь корреляционных характеристик с энергетическими спектрами случайных процессов.

18

Рис. 4.9. Исследование случайных процессов (лабораторный стол №2)

Рис. 4.10. Исследование случайных процессов (лабораторная работа №19)

19