Salnikov_A_P_Teoria_elektricheskoy_svyazi_Kons

Дифференциалы dx, dy и производная обратной функции в полученном выражении взяты по модулю в силу свойства положительности плотности вероятности.

Примеры:

1. Линейное безынерционное преобразование y = f (x) = ax + b.

Таким образом, при линейном преобразовании случайной величины ее кривая плотности распределения смещается на величину b, а масштаб по координатным осям изменяется в |a| раз.

2. Кусочно-линейное преобразование y = f (x) (рис. 5.3).

Задачу решим графически, определяя вид кривой wY(y) на отдельных интервалах оси у.

21

δ( y y2 ) wX (x)dx

x2

y2

y1

x1 x2 x

Рис. 5.3. Кусочно-линейное преобразование случайной величины.

Из рассмотрения функциональной характеристики y = f (x) с очевидностью вытекает, что

а) при у < 0 и у > y2 wY (y) = 0, т. к. значения реакции у не могут выйти за пределы уровней отсечки (у = 0) и насыщения (у = y2,);

б) при 0 < у < y1 wY (y) = 0, т. к. в этот интервал (протяженностью y1) значения реакции попадают при единственном значении воздействия x = x1, вероятность которого wX(x1)dx 0;

нальная характеристика является многозначной (рис. 5. 4). Рассуждая

22

аналогично тому, как это делали при выводе выражения (5.1), легко

Если при анализе прохождения СП через БФУ достаточно знать только основные характеристики распределения реакции, то их можно найти, не определяя wY(y). В частности:

математическое ожидание

Функциональное преобразование двух случайных процессов Постановка задачи:

Заданы два случайных процесса X1(t) и X2(t) с известной совместной плотностью вероятности их значений в совпадающие моменты

23

времени w(x1, x2; t). С этими процессами связаны два других СП Y1(t) и Y2(t) известными функциональными зависимостями

y1 f1 x1, x2 y2 f2 x1, x2 .

Требуется определить w(у1, у2; t) – совместную плотность вероятности процессов Y1(t) и Y2(t) в совпадающие моменты времени.

Решение:

По аналогии с (5.1) можно написать следующее соотношение

5.2. Прохождение случайных процессов через линейные цепи

Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен корреляционный анализ, т. е. расчет корреляционной функции реакции по заданной корреляционной функции воздействия, который удобно проводить спектральным методом по схеме, показанной на рис. 5.5.

GX ( f ) BX (η)e j 2πfηdη GY ( f )

Рис. 5.5. Схема вычисления корреляционной функции реакции ФУ

Для вычисления энергетического спектра GY(f) реакции линейного ФУ с передаточной функцией H(jω) воспользуемся его определени-

ем (4.1)

24

Функцию корреляции BY( ) определим преобразованием Фурье энергетического спектра GY(f)

BY (η) GY ( f )e j 2πfηdf .

Вернемся к определению закона распределения реакции линейного ФУ в отдельных частных случаях:

1.Линейное преобразование нормального СП порождает также нормальный процесс. Измениться могут только параметры его распределения.

2.Сумма нормальных СП (реакция сумматора) есть также нормальный процесс.

3.При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтраF существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия fX) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y(t). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство F << fX (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Спектр широкополосного СП и АЧХ узкополосных ФНЧ и ПФ.

Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с fX до F) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c X до Y). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y(k Y) располагается примерно fX / F некоррелированных отсчетов воздействия X(l X),, каждый из которых дает вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра.

25

Таким образом, в некоррелированных сечениях Y(k Y) происходит суммирование большого числа также некоррелированных случайных величин X(l X) с ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями, что в соответствии с центральной предельной теоремой (А.М. Ляпунова) обеспечивает приближение распределения их суммы

кнормальному с увеличением числа слагаемых.

5.3.Узкополосные случайные процессы

СП X(t) с относительно узким энергетическим спектром ( fX << fc) как и узкополосные детерминированные сигналы удобно представлять в квазигармонической форме (см. раздел 2.5)

X (t) A(t) cos (t) A(t) cos ωct (t) ,

где огибающая A(t), фаза (t) и начальная фаза (t) являются случайными процессами, а ωс – частота, выбираемая произвольно (обычно как средняя частота его спектра).

Для определения огибающей A(t) и фазы (t) целесообразно вос-

BX (t1,t2 ) X (t1) X * (t2 ) ,

при этом

26

Рассмотрим типичную в технике связи задачу прохождения нормального СП через полосовой фильтр (ПФ), амплитудный (АД) и фазовый (ФД) детекторы (рис. 5.7). Сигнал на выходе ПФ становится узкополосным X (t) A(t) cos ω0t (t) , а это означает, что его оги-

бающая A(t) и начальная фаза (t) будут медленно меняющимися функциями времени по сравнению с cos ω0t , где ω0 – средняя частота

полосы пропускания ПФ. По определению, сигнал на выходе АД будет пропорционален огибающей входного сигнала A(t), а на выходе ФД – его начальной фазе (t). Таким образом, для решения этой задачи достаточно вычислить распределение огибающей A(t) и фазы (t) (распределение начальной фазы (t) (t) ω0t отличается от рас-

пределения (t) только математическим ожиданием ω0t ).

Рис. 5.7. Прохождение СП через полосовой фильтр и детекторы.

Постановка задачи

Дано:

1)X(t) = A(t)cos (t) – узкополосный центрированный стационарный нормальный СП (на выходе ПФ),

Определить:

1)w(A) – одномерную плотность вероятности огибающей,

2)w( ) – одномерную плотность вероятности фазы.

27

2. Расчет совместной плотности вероятности w( A, ) по вычисленной

3. Определение одномерных плотностей вероятности w(A) и w( ) по вычисленной совместной плотности вероятности w( A, ) .

28

Некоррелированность сечений нормальных процессов влечет их независимость, следовательно