Salnikov_A_P_Teoria_elektricheskoy_svyazi_Kons

где R – средний риск.

При использовании этого критерия оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска

(6.7).

Из критерия минимального среднего риска, как наиболее общего, вытекают оба вышерассмотренных критерия:

1) критерий Котельникова при Li,i = 0 и Li,j = const (i ≠ j ),

2) критерий максимального правдоподобия при Li,i = 0 и

Практическое использование критерия минимального среднего риска затруднено необходимостью знать вероятности передачи сооб-

щений P(bi ) и сложностью объективного определения весовых коэффициентов Li,j.

6.2.4. Критерий Неймана-Пирсона

Критерий Неймана-Пирсона применяется в двоичных системах в ситуациях, когда невозможно определить априорные вероятности отдельных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы. Такая ситуация типична для радиолокации, где осуществляется зондирование пространства узким радиолучом и прием отраженного от цели сигнала. При этом имеют место две ситуации: 1) наличие цели

– колебание на входе приемника содержит сигнал в аддитивной смеси с помехой (с неизвестной априорной вероятностью P(b1)), 2) отсутствие цели – на входе приемника действует одна помеха (с вероятностью P(b0) = 1 – P(b1)). Задача приема – обнаружение сигнала на фоне помех. При ее реализации возможны два вида ошибок:

1) пропуск цели (цель есть, но отраженный сигнал не обнаружен)

с условной вероятностью ˆ ;

P(b0 / b1)

2) ложная тревога (цель отсутствует, но принято решение о нали-

чии отраженного сигнала) с условной вероятностью ˆ .

P(b1 / b0 )

Очевидно, что последствия этих ошибок сильно различаются.

41

В таком случае целесообразно стремиться к уменьшению условной вероятности ошибки, вызывающей особо тяжелые последствия (пропуск цели), что можно сделать только за счет увеличения вероятности ошибки другого вида (ложной тревоги). Ясно, что это можно делать до определенной степени, т. к. слишком большая вероятность ложной тревоги приведет к ощутимым экономическим потерям и к подрыву доверия к системе в целом. Разумный выход – зафиксировать вероятность ложной тревоги на выбранном уровне ε

ˆ

B1

и затем минимизировать вероятность пропуска цели

Минимизация (6.9) при заданной величине (6.8) достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства

где λ(ε) – пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте задачу оптимального приема дискретных сообщений.

2.Дайте геометрическую трактовку задаче оптимального приема дискретных сообщений.

3.Что называют правилом решения (решающей схемой) демодулятора?

4.Что такое идеальный (оптимальный) приемник дискретных сообщений?

5.Что понимают под потенциальной помехоустойчивостью приема дискретных сообщений?

6.В чем суть теории потенциальной помехоустойчивости? Когда и кем были заложены ее основы?

7.Какой смысл вкладывают в понятие критерия качества приема дискретных сообщений? Перечислите известные Вам критерии.

8.В чем суть критерия идеального наблюдателя (критерия Котельникова)?

9.Укажите особенности критерия Котельникова.

42

10.Что представляет собой критерий максимального правдоподобия? Как он соотносится с критерием Котельникова?

11.Расскажите о критерии минимального среднего риска. В чем его общность?

12.При каких условиях критерий минимального среднего риска совпадает с критерием Котельникова?

13.При каких условиях критерий минимального среднего риска совпадает с критерием максимального правдоподобия?

14.В чем сущность критерия Неймана-Пирсона? В каких случаях целесообразно его использование?

6.3.Синтез оптимального демодулятора при известном ансамбле сигналов (когерентный прием)

6.3.1.Постановка и решение задачи когерентного приема на корреляторах

где N(t) – квазибелый нормальный шум, т. е.

3.В качестве критерия качества приема задан критерий максимального правдоподобия (6.6)

Требуется синтезировать оптимальный демодулятор, иначе говоря, найти алгоритм оптимальной обработки входного сигнала и принятия решения о передаваемом сообщении.

Решение

В основу решения положим выражение заданного критерия качества приема, для чего рассмотрим входящие в него функции правдоподобия гипотез:

1) о наличии во входном колебании z(t) i-го сигнала [z(t) = si(t) + n(t)]

43

Поскольку СП Z(t) = si(t)+ N(t) отличается от шума N(t) только известным, а потому неслучайным сигналом si(t), играющим роль математического ожидания Z(t), то

где использовано обозначение si,k = si(tk).

В итоге отношение правдоподобия гипотез о наличии и отсутствии сигнала принимает вид

Перейдем к белому шуму, сняв ограничение на ширину его спектра (F ). Иначе говоря, от евклидова пространства перейдем к гильбертовому. При этом

44

Синтезируемый демодулятор должен принимать решение в поль-

зу ˆ , обеспечивающего максимум выражения (6.10), или, что эквива- bi

лентно, максимум показателя экспоненты в нем

Нетрудно видеть, что максимум (6.11) достигается при минимуме вычитаемого

Демодулятор оптимальный по критерию максимального правдо-

подобия принимает решение в пользу того символа ˆ , сигнал si(t) ко- bi

торого отстоит от принятого колебания z(t) на меньшее расстояние. Рассматривая выражение (6.12) как алгоритм обработки принято-

го колебания z(t) приходим к схеме демодулятора, представленной на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Схема демодулятора, реализующего алгоритм (6.12)

45

Другую форму алгоритма можно получить из выражения (6.11)

где Ei – энергия i-го сигнала.

Схема оптимального демодулятора, реализующего алгоритм (6.13), приведена на рис. 6.3. Поскольку в каждой ветви такого демо-

дулятора присутствует вычислитель скалярного произведения (z, si ) –

коррелятор, то его называют демодулятором на корреляторах (активных фильтрах).

Рис. 6.3. Оптимальный демодулятор на корреляторах (6.13)

46

Если использовать сигналы равных энергий, то алгоритм (6.13) и схема демодулятора (рис. 6.3) существенно упрощаются (рис. 6.4)

Все вышерассмотренные демодуляторы используют всю информацию о форме сигналов si(t), включая начальную фазу. В каждой их ветви содержатся генераторы, генерирующие синфазные образцы этих сигналов, поэтому их называют когерентными демодуляторами.

6.3.2. Синтез оптимального когерентного демодулятора на согласованных фильтрах

Сохраняя постановку задачи синтеза демодулятора из предыдущего раздела и опираясь на алгоритмы (6.13) и (6.14), попробуем заменить коррелятор (активный фильтр), вычисляющий скалярные произведения приходящего колебания и образцов сигналов, на пассивный линейный фильтр, реализующий ту же операцию.

Как известно, реакция линейного фильтра на воздействие z(t) вычисляется с помощью интеграла Дюамеля

t

y(t) z(η)g(t η)dη

0

47

Потребуем, чтобы в заранее выбранный момент времени t0 значение этой реакции y(t0) с точностью до коэффициента совпало со скалярным произведением (6.14)

Фильтры, обладающие такими импульсными характеристиками, называют согласованными (СФ) с соответствующими сигналами.

На рис. 6.5 изображены сигнал длительностью Т и импульсные характеристики согласованных с ним фильтров для t0 = Т и t0 > Т, из которых видно, что импульсная характеристика согласованного

Свойства согласованных фильтров

1. Импульсная характеристика СФ является «зеркальным от-

ражением» сигнала, с которым он согласован, относительно момента времени 0,5t0 (с точностью до постоянного коэффициента)

gСФi (t) аsi (t0 t) .

48

Это свойство было положено в основу определения СФ (6.15).

2. Передаточная функция СФ

Таким образом, передаточная функция СФ с точностью до мно-

жителя ae jωt0 совпадает с сопряженной спектральной функцией сигнала, с которым он согласован

HСФ ( jω) ae jωt0 S* jω .

Амплитудно-частотная характеристика СФ

HСФ (ω) HСФ ( jω) a S jω aS ω

с точностью до коэффициента а повторяет амплитудный спектр сигнала, с которым он согласован

Фазо-частотная характеристика СФ

СФ (ω) arg HСФ ( jω) arg S* jω ωt0 arg S jω ωt0

отличается знаком от фазового спектра сигнала, с которым он согласован (без учета слагаемого –ωt0).

3. Форма отклика СФ на «свой» сигнал (сигнал с которым он согласован)

yСФ (t) s(η)gСФ (t η)dη .

Учитывая, что из (6.15) вытекает gСФ (t) as(t0 t) , получим

yСФ (t) a s(η)s(η t t0 )dη aBs (t t0 ) .

Таким образом, отклик СФ на «свой» сигнал с точностью до коэффициента совпадает с его корреляционной функцией, смещенной по оси времени на интервал t0 (рис. 6.7)

yСФ (t) aBs (t t0 ) .

49

s(t)

Bs(t)

yСФ(t)

0 t0 = T t

Рис. 6.7. Сигнал s(t), его корреляционная функция Bs(t) и отклик СФ yСФ(t)

Из полученного результата вытекают следующие выводы:

Отклик СФ на «свой» сигнал с точностью до постоянного коэффициента совпадает с его корреляционной функцией.

Длительность отклика на «свой» сигнал всегда равна 2Т.

СФ не восстанавливает форму сигнала, искаженного шумом. Его

задача создать один отсчет y(t0), по которому можно наилучшим образом судить о присутствии на входе «своего» сигнала.

4.СФ обеспечивает наибольшее отношение сигнал/шум (с/ш)

на своем выходе при действии на входе аддитивной смеси «своего»

Z(t) s(t) N (t) со спектральной плотностью мощности N=NО/2. Докажем это, уточнив предварительно, что под отношением с/ш

на выходе СФ понимают отношение математического ожидания отсчета случайной реакции СФ Y(t) в момент времени t0 = T к корню из ее дисперсии

Рассмотрим произвольный линейный фильтр с передаточной

функцией H ( j2πf ) . Поскольку Y (T ) представляет собой отсчет реакции ys(T) на математическое ожидание воздействия, каковым является сигнал s(t), то

50