pds

Пример1: по второму определению циклического кода n=7 x7 +1=(x+1)(x3 +x+1)(x3 +x2 +1)

В качестве g(x) можно взять: g1(x)=x+1

g2(x)=x3 +x+1 g3(x)=x3 +x2 +1 g4(x)=(x+1)(x3 +x+1) g5(x)=(x+1)(x3 +x2 +1)

g6(x)=(x3 +x+1)(x3 +x2 +1)

é1101000ù

форме и получим: G(7,4)=êê0110100úú

ê1110010ú êë1010001úû

é1001011ù

Проверочная матрица: H=[I3 RT] =êê0101110úú ,где I3 –единичная матрица 3 ×3

êë0010111úû

Последовательности (α0, α1, ... ,α n-1)соответствует многочлен α0x0 + … +α0x n-1

Как можно построить проверочную матрицу?

xn +1=g(x) h(x)=0

Для g(x) есть ортогональный многочлен, следовательно можно строить проверочную матрицу на основе g(x).

g(x)- порождающий многочлен

h(x)- проверочный многочлен степени k

Надо найти h(x). Способ 1 (см. пример1):

Способ 2:

h(x)=(x+1)(x 3+x 2+1)=x4+x3+x+x3+x2+1=x4+x2+x+1

a1b2 + a1b0x + a1b1x2 + a2b1 + a2b2x + a2b0x2

Произведению многочленов соответствует скалярное произведение векторов, при этом один из векторов пишется в естественном порядке (возрастающем), а коэффициенты второго вектора берутся в обратном порядке, а также используются все циклические сдвиги коэффициентов второго вектора.

x7+1=(x+1)(x 3+x+1)(x 3+x2+1)

С помощью неприводимого многочлена П(α)=α3+α+1 можно построить

Построили элементы поля GF(23 ) по модулю неприводимого многочлена.

В теории Галуа доказано, что имеется однозначная связь между корнями двучлена (xn+1) и ненулевыми элементами поля GF(qn), а именно: корни двучлена (xn+1) являются ненулевыми элементами поля GF(qn).

Возьмём двоичное поле GF(2m). Установим связь между:

α6= … = 100 Распределим все элементы поля по многочлену:

x7+1=(x+1)(x 3+x+1)(x 3+x2+1)

α0 α1 α2 α4 α3 α6 α5 (т.к. α12 = α7+α5 = 1+α5 = α5)

Корректирующие свойства циклических кодов.

Корректирующие свойства циклических кодов задаются следующими двумя теоремами, авторами которых являются Боуз и Чоудхури. Впоследствии оказалось, что аналогичные результаты получил француз Хоквинчел. Поэтому коды, удовлетворяющие теоремам называются кодами ВЧХ.

Теорема1. Для любых чисел l и t можно построить циклический код с длиной кодовой комбинации n=2l-1. Число избыточных элементов n-k = l*t. Минимальное кодовое расстояние d ³ 2t +1.

Эта теорема говорит о потенциальной возможности построения кода с указанными параметрами.

Теорема2 (эта теорема говорит как реализовать теорему1). Если среди корней порождающего многочлена есть числа вида

αm0 , αm0 +1 , αm0 +2 , … , αm0 +d-2 , то минимальное кодовое расстояние циклического кода с данным g(x) :

dmin ³ d , где d -конструктивное расстояние.

Пример1: пусть l =3, t =1. при l =3 : n =7

при t =1: n-k =3. Следовательно получили код (7,4)

g1(x) = x 3+x+1 , корни многочлена: α1, α2, α4 (два подряд идущих корня α1 и α2 )

m0 =1 m0+d-2=2; d =3

g2(x) = x 3+x 2+1 , корни многочлена: : α3, α5, α6 (два подряд идущих корня α5 и α6 )

m0 =5 m0+d-2=6; d =3

Для кода (7,6): g(x) =1+x (один корень), dmin =2;

Для кода (7,3): g(x) = (1+x) (1+x+x3) , корни: α0, α1, α2, α4 (три подряд идущих корня α0, α1, α2), dmin =4;

Укорочение кодов.

Из любого группового (n,k)-кода можно получить (n-i,k-i)-код. Для этого необходимо в порождающей матрице (n,k)-кода, записанной в

é10110ù

H(5,3) = ê ú ,

ë01011û

é1011ù

следовательно H(4,2)=ê ú

ë0101û

У укороченных кодов минимальное кодовое расстояние не меньше, чем у кодов естественной длины, так как отбрасывание столбцов проверочной матрицы не может уменьшить числа линейно зависимых столбцов(не может уменьшится вес кодовой комбинации). Всё это относится и к циклическим кодам.

Процедуры кодирования и декодирования для циклических кодов.

1) Процедуры на основе g(x).

Кодовая комбинация циклического кода f(x):

а) Процедура кодирования.

Есть комбинация k(x), а хотим сделать f(x). Для этого размещаем комбинацию k(x) на месте информационных элементов, а потом находим избыточные элементы. Таким образом получаем f(x).

Теорема:

Справедливо рав-во (a+b)p=a p+b p,если GF(p m ) (a+b+c)p=a p+b p +c p Т.е.все 3 способа вычисления синдрома -одно и тоже

f '(x)=f(x)+e(x)

S(x)= f '(x) HT=(f(x)+e(x))HT=e(x) HT,т.е.синдром полностью определяется многочленом ошибок

Если е(х)=1, то инвертирование принятой комбинации

ПРОЦЕДУРА КОДИРОВАНИЯ И ДЕКОДИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ h(x)

Только для кодов n=2l−1(коды естественной длины) Если f(x)=q(x)*g(x)

f(x)h(x)=0(=C(x)−пусть)

Ci = fi h0 + fi −1+... + fi k − hk = 0

Процедура кодирования: известны все информационные элементы К(х), по ним найти n-k

fi − k = fi h0 + fi −1h1 +... + fi − k +1hk −1

Пусть i=n-1

fn − k −1 = fn −1h0 + fn − 2h1 +... + fn − khk −1

Дальше: i=n−2 и тд

В общем виде: