pds

Проверочная матрица группового кода как и ПМК может быть записана в канонической форме:

H(n,k ) = [In− k R(n− k )k ` ]

G × H T = [RIk ]× [In− k R`]T = RI T n− k + Ik (R`)T = 0

R + (R`)T = 0

R`= RT

Т.о. проверочная матрица как и ПМК служит для краткого задания кода. Она задаёт код через проверочные соотношения, существующие для данного кода. Используя связь между канонической формой ПМК и проверочной матрицей мы легко по одной из них находим другую.

Дополнительные свойства проверочной матрицы.

1.Из выражения G ´ H T = 0 и из определения проверочной матрицы следует, что

произведение кодовой последовательности V на НT равно нулю.

V × H T = 0

S = V × H T - синдром ошибки, если S ¹ 0 , то есть ошибка.

S = 0 – разрешённая комбинация.

2.Умножение V на Н сводится к суммированию столбцов Н, соответствующих единицам в умножаемой комбинации. Следовательно кодовой комбинации min веса соответствует min число столбцов, в сумме дающих чисто нулевой столбец, т.е. min кодовое расстояние группового кода, равное min числу линейно зависимых столбцов в проверочной матрице.

Методы кодирования и декодирования групповых кодов.

1. Методы кодирования.

Два определения циклического кода:

1) Циклическим (n,k)-кодом называют такой групповой код, для которого справедливо: если последовательность (a0, a1, ... , an-1) принадлежит коду, то и n-последовательность вида (an-1, a0, a1, ... , an-2), полученная путём циклического сдвига элементов, указанных в комбинации, на единицу вправо, также принадлежит этому коду (циклический сдвиг делается с помощью умножения на x).

Обычно комбинации циклических кодов представляют в виде многочленов f(x), степень которых не превышает (n-1):

(a0, a1, ... , an-1) соответствует a0x0+a1x1+a2x2+…+an-1xn-1

Такое представление даёт возможность не только складывать кодовые комбинации, но и умножать и делить по соответствующим правилам для многочленов.

2)Здесь используется возможность умножения и деления. Циклическим (n

,k)-кодом называют множество многочленов степени (n-1) и менее, каждый из которых делится без остатка на некоторый многочлен g(x), степень которого равна (n-k). Этот многочлен g(x) должен быть сомножителем

(делителем) двучлена (xn+1). Многочлен называют порождающим многочленом.

Если получаем xn+1=0, то два эти определения сходятся (xn=1).

Кодовые комбинации циклического кода представляются в виде многочленов. Сложение многочленов не изменяет их степени и эквивалентно сложению векторов, поэтому множество векторов (n-1) и менее по операции сложения многочленов представляет собой группу, т.е. групповой код. Однако умножение и деление векторов изменяет их степень. Для того чтобы обеспечить замкнутость по операции умножения векторов производят умножение многочленов по модулю многочлена(x(n-1)).

В этом случае многочлен (xn+1) является нулём, также как двойка является нулём при действиях по mod2.

Понятие о кольце и поле.

Кольцо - множество элементов произвольной природы, для которых задано два действия: сложение и умножение, и по операции сложения это множество является абелевой группой, а по операции умножения выполняются следующие аксиомы:

Наличие единичного элемента:

Наличие обратных элементов:

Обратные элементы существуют только не для нулевых элементов.

По аналогии с кольцом классов вычетов целых чисел, можно построить кольцо классов вычетов многочлена по модулю многочлена (xn +1). Этих классов вычетов будет ровно 2n , если коэффициенты многочлена взяты из двоичного кода. Для этого кольца классов вычетов можно построить идеал, если взять все многочлены (классы вычетов), кратные некоторому многочлену g(x)(многочлен g(x) образует свой класс вычетов).

В теории кодирования доказывается, что если некоторый многочлен g(x) образует идеал, то он должен быть сомножителем (xn+1), а многочлен

h(x)= xn(+)1 образует нулевое пространство для этого идеала.

g x

Расширенные коды: p=qm, где p-число элементов поля. Тогда при q =2: n=2m- 1 (т.е. берём не числовое поле, а поле из последовательностей нулей и единиц).

Запишем множество многочленов по mod (xn+1):

{x2 +x+1}, …

:

{xn-1 +xn-2 +x+1}, …

Всего получили 2n различных кодовых комбинаций. Надо из 2n кодовых комбинаций выбрать 2k< 2n .Для этого: если это множество построено по модулю многочлена f(x) и при этом этот многочлен состоит из:

f(x)=g(x)*h(x)=0, то идеал будет включать все многочлены, кратные g(x), а его размер будет k.

Можно построить идеал на основе h(x). Идеал будет кратен h(x), а его пространство будет (n-k).

Мы получили циклический код, у которого каждый многочлен кратен многочлену g(x) или h(x).

Рассмотрим поле. Хотим перейти к полю с большим основанием. Это можно сделать либо расширением (p=2m), либо увеличением основания q.

Простые и расширенные поля.

Простыми полями называют поля, сформированные по модулю простого числа (простое число делится на 1 и на себя).

Простое поле представляет собой кольцо классов вычетов по модулю простого числа с конечным числом элементов. Для конечных полей используется обозначение GF(q), где q- число элементов поля, q = p (простое число).

Для конечных полей справедливо следующее свойство: мультиплексированная группа поля Галуа является циклической. Это означает: все элементы поля могут быть получены как степени одного из элементов поля. Элемент поля, который порождает все остальные элементы, называют примитивным элементом поля.

Пример:

Есть GF(q), q=5 Элементами этого поля являются {0}

{1}

{2}

{3}

{4}

20=1

21=2

22=4

23=8 (8 по mod 5 будет 3)

Следовательно, 2 –это примитивный элемент поля.

Расширенным полем называют такое поле, элементами которого являются последовательности заданной длины, состоящие из элементов основного поля.

GF(22)=00, 10, 01, 11 -расширенное поле (все последовательности нулей и единиц).

Обозначим многочлены:

f(x) = 00=0 f(x) =10=1 f(x) =01=x f(x) =11=x+1

Элементы расширенного поля можно получить как кольцо классов вычетов по модулю неприводимого многочлена степени m, коэффициенты которого взяты из основного поля.

Для того чтобы построить поле GF(2m), надо построить кольцо классов вычетов неприводимого многочлена (xm + … +1) с коэффициентами основного поля.

m=2 → x2 +x+1

П(a)=α2 +α+1 (вместо x подставляем α).

Строим элементы поля:

Если α0 разделить на(α2 +α+1),то остатком будет α0 (т.к. деление начнётся с α2)

Порождающие и проверочные матрицы для циклических кодов.

Циклические коды являются групповыми кодами. Множество многочленов, кратных некоторому многочлену является замкнутым. Среди кодовых комбинаций всегда есть нулевой многочлен. Таким образом, все изложенные выше способы описания групповых кодов применимы и для циклических кодов.

Порождающая матрица циклического кода строится как множество из k многочленов, кратных многочлену g(x):