pds

∙Модель ВАС

∙Модель Пуртова Л.П.

∙Модель p,α

α- Показатель группирования ошибок

Задача:

Были проведены статистические исследования дискретного канала, в ходе испытания было передано N двоичных битов. Эти элементы передавались n-элементным кодом (комбинациями). При обработке экспериментальных данных было выявлено, что всего М двоичных элементов принято с ошибкой. А ошибки располагались в В кодовых комбинациях.

Определить:

1)среднюю вероятность ошибочного приема p 2)вероятность искажения кодовой комбинации P(= 1,n) f ( p) , n- длина кодовой комбинации

Рассмотрим два придельных случая

а) равномерное распределение ошибок в кодовой комбинации. Пусть в искаженной кодовой комбинации была всего одна ошибка, т.е. M=B.

б)Все ошибки в одной кодовой комбинации и все элементы этой кодовой комбинации искажены (сильное группирование ошибок).

Все ошибки в одной кодовой комбинации: B=1 Все искажены: M=n

P n 1 M

(= 1, ) = N

В результате решения задачи получили: n0 p P( 1,n) np

Обобщение: P(= 1,n) =f ( p) nβ p

На графике двойной логарифмический масштаб.

Заменили: β = 1− α , где α - показатель группирования

α= 0 - группирование отсутствует

α= 1 - сильное группирование

Помехоустойчивое кодирование.

Основные понятия для помехоустойчивого кодирования.

Помехоустойчивое кодирование – основной метод защиты от ошибок.

Если минимальное кодовое расстояние d 2 , то такие коды называются

помехоустойчивыми.

Кодовое расстояние – степень отличия двух кодовых комбинаций (число различных элементов).

Помехоустойчивый код – код, способный обнаружить и (или) исправить ошибку в кодовой комбинации.

Принципы обнаружения и исправления ошибок (на примере блочных кодов).

1) Обнаружения ошибок

NÏ - полное множество кодовых комбинаций длины n. Если используем для передачи NÊ < NÏ

NÊ - разрешенные комбинации для передачи

NÏ − NÊ - запрещенные комбинации

Ограничение числа кодовых комбинаций для передачи :

передатчик

Ошибка выявляется, когда передаем разрешенную, а принимаем запрещенную комбинацию. Но не можем обнаружить, если была предана одна разрешенная комбинация, а принята другая разрешенная комбинация.

Отношение числа обнаруженных ошибок к общему числу возможных

2) Исправление ошибок

Не достаточно выделять защитную зону NÏ − NÊ . Для каждой кодовой

комбинации своя защитная зона. Эффективность исправления ошибок:

VL

Эффективность исправления ошибок:

Доля исправляемых ошибок трансформаций в NÊ раз меньше, чем доля обнаруженных. (Исправление ошибок а NÊ раз менее эффективно). Его

используют, а в том случае, когда отсутствует канал обратной связи между передатчиком и источником, т.е. передача информации происходит в одном направлении.

Основные характеристики помехоустойчивых кодов.

1.Избыточность

Сколько из n элементов используется для передачи информации?

ê = log2 NÊ

В пределах каждой кодовой комбинации выделим ê элементов, в которой передаем информацию.

I. Граница Хемминга.

Сколько в этой зоне запрещенных + 1 кодовых комбинаций?

Коды на границе Хемминга и есть сами коды Хемминга.

II. Граница Варшамова – Гилберта

Таких кодов значительно больше, чем кодов, удовлетворяющих границы Хемминга, и эти коды хорошие.

III. Граница максимально разнесенных кодов (максимальная граница)

dmin = n − k +1

Устанавливает максимальное значение dmin для определенной избыточности.

Таких кодов мало: коды с проверкой на четность и другие. Ее открыл Синглтон (граница Синглтона).

Группой (G) называется множество элементов произвольной природы, для которых задано одно из действий (либо сложение, либо умножение). И по этому действию (операции) это множество обладает следующими свойствами (удовлетворяют следующим аксиомам):

1. Замкнутость.

Рассмотрим на примере сложения (для умножения тоже самое).

a,b G

a+b = c, c ÎG

2.Ассоциативность (сочетательность).

a+ (b + c) = (a + b) + c

3.Наличие единичного элемента.

Среди элементов группы есть единственный элемент l, такой что для любого элемента группы a выполняется соотношение: a + l = l + a = a

+ 10101

Например, 00000

10101

4. Наличие обратных элементов.

Для каждого элемента a группы в группе есть обратный элемент a , такой что a + a = a + a = e

5. Коммутативность.

Если a и b элементы группы и не важен порядок, т.е. a +b = b + a, то такая группа называется коммутативной или абелевой.

Группа называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. В противном случае она называется бесконечной.

Пример.

Задав в качестве групповой операции операцию сложения по mod2, убедимся, что множество 000, 001, 010, 100, 110, 011, 101, 111 является группой. Складывая элементы множества в различном сочетании, видим, что каждый раз получаем элемент, входящий в множество. Так, 001Å100 = 101 и т.п. Легко заметить, что условие ассоциативности также выполняется. Единичным является элемент 000. Для каждого элемента, заданного в примере множества, существует обратный. Так, для элемента 100 обратным является он сам, т.е. 100 Å100 = 000 . Таким образом, рассматриваемое множество является группой, порядок которой (число элементов) равен восьми. Видно также, что данная группа является коммутативной.

Групповым кодом называется множество n-последовательностей, которые являются абелевой группой по введённой операции поразрядного сложения Å.

Для групповых кодов принято обозначение (n,k) – код (k – число информационных элементов, n – общее число элементов).

Свойства групповых кодов.

1.Групповой (линейный) код является подгруппой множества всех последовательностей длины n. (А множество всех последовательностей длины n называется группой).

Для того, чтобы множество из n-последовательности из общего числа всех последовательностей длины n было группой, достаточно проверить наличие единичного элемента (нулевого) и замкнутость.

2. Min кодовое расстояние группового кода равно весу его ненулевых комбинаций.

Это свойство обусловлено тем, что сумма любых комбинаций группового кода также является кодовой комбинацией, а значит комбинация min веса указывает на степень удалённости комбинаций данного кода.

Любой групповой код не обнаруживает только те ошибки, которые по своему виду совпадают с видом кодовой комбинации.

Способы задания групповых кодов.

a0, a1, a2, a3, … an-1 – последовательность длины n.

a0 × e0 + a1 × e1 + + an− 1 × en− 1 - вектор n-мерного пространства ( ai - скаляр, ei - орт).

NП ~ VП

NК ~ VК

1.Базис – совокупность линейно независимых векторов, с помощью которых можно получить все вектора, входящие в это пространство.

2.Линейная комбинация кодовой комбинации.

W= c0 ×V0 + c1 ×V1 + c2 ×V2 + + ck ×Vk

3.Линейная зависимость и линейная независимость. (Линейная независимость: W = 0, когда все сi = 0)

Способы задания.

1.По аналогии с линейным векторным пространством можно задавать групповые коды с помощью базиса подпространства размерности k n-мерного векторного пространства. [Порождающая матрица кода (ПМК)]

Строками этой таблицы являются k линейно независимых кодовых комбинаций. ПМК обозначается: (), , [].

n

Пример.

Пусть в групповом (5,3) коде связи между информационными и избыточными элементами задаются с помощью следующих линейных отношений:

Элементы комбинаций кода a0, a1, a2, a3, a4, где a2, a3, a4 - информационные, а a0, a1 – избыточные элементы. Избыточные элементы могут быть получены путём суммирования по mod2 определённых информационных элементов. Т.о. a0 = a2 Å a3 ,

a1 = a3 Å a4 .

00 000

10100

11010

01110

01001

11101

10011

00111

Первые два столбца – это избыточные элементы, полученные путём суммирования по mod2 определённых информационных элементов, а оставшиеся три столбца – информационные элементы. Исходя из этого можно построить ПМК:

RI

ПМК – служит для краткого задания кода. Для однозначности задания кода с помощью порождающей матрицы вводится понятие канонической формы порождающей матрицы:

n

G(n,k ) = [Rk (n− k ) I k ] k

2. Проверочная матрица группового кода (Н). Свойство.

Если два вектора по скалярному произведению равны нулю, то они ортогональны.

Смотри предыдущий пример. a0, a1, a2, a3, a4

Проверочные

вектора

W = 1×1+ 0 × 0 +1×1+ 0 ×1+ 0 × 0 = 1+ 0 +1+ 0 + 0 = 0

H – базис нулевого пространства (n,k) кода.

H =[n ] n −k в качестве строк – проверочные вектора данного кода.