5 Симплекс-метод с искусственным базисом
Данный метод применяется для решения задач ЛП симплексным методом в случае, когда задача не имеет начального опорного решения с базисом из единичных векторов. Согласно данному методу составляется так называемая расширенная задача, которая содержит вспомогательную W - задачу. Для решения такой задачи рассматривают искусственные переменные, которые вводятся в ограничения-равенства для получения начального опорного решения. При составлении симплекс-таблицы из функции Z исключаются базисные переменные, а из функции W – искусственные базисные переменные. Затем решают задачу симплекс-методом. В ходе решения возможны следующие случаи:
в оптимальном решении W – задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля (т.е. не вышла из базиса). Тогда исходная Z – задача не имеет допустимых планов (т.е. её система ограничений несовместна);
в оптимальном плане новой W – задачи все искусственные переменные равны нулю (т.е. вышли из базиса), а значит, и искусственная целевая функция равна нулю. Тогда значения оставшихся координат плана дадут начальный опорный план исходной задачи, которую можно решить симплекс-методом.
Пример: Решить симплекс-методом с искусственным базисом задачу ЛП.
Решение: Приведем задачу к каноническому виду
Так как bi ≥ 0, то
Так как в первом и втором ограничении нет базисной переменной, начальный опорный план найдем с помощью искусственного базиса. Для получения предпочтительного вида введем неотрицательные искусственные переменные х6 и х7 и рассмотрим вспомогательную W – задачу.
Начальный опорный
план
Исключим искусственные переменные из целевой функции W, а из функции Z базисные.
Составим исходную симплекс-таблицу и решим задачу.
|
Таблица 16 - Симплекс – таблица 1 | |||||||||
|
БП |
СЧ |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
Q |
|
x6 |
6 |
3 |
1 |
3 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
x7 |
4 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
x5 |
4 |
-3 |
3 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
- |
|
Z |
0 |
-2 |
-2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
|
W |
-10 |
-4 |
-2 |
-4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
- |
|
Таблица 17 - Симплекс – таблица 2 | |||||||||
|
х3 |
2 |
1 |
1/3 |
1 |
-1/3 |
0 |
1/3 |
0 |
6 |
|
x7 |
2 |
0 |
2/3 |
0 |
1/3 |
0 |
-1/3 |
1 |
3 |
|
x5 |
6 |
-2 |
10/3 |
0 |
-1/3 |
1 |
1/3 |
0 |
9/5 |
|
Z |
-6 |
-5 |
-3 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
- |
|
W |
-2 |
0 |
-2/3 |
0 |
-1/3 |
0 |
4/3 |
0 |
- |
|
Как только искусственная переменная выходит из базиса, то её исключают из таблицы. | |||||||||
|
Таблица 18 - Симплекс – таблица 3 | |||||||||
|
х3 |
7/5 |
6/5 |
0 |
1 |
-3/10 |
-1/10 |
|
0 |
- |
|
х7 |
4/5 |
2/5 |
0 |
0 |
2/5 |
-1/5 |
|
1 |
2 |
|
х2 |
9/5 |
-3/5 |
1 |
0 |
-1/10 |
3/10 |
|
0 |
- |
|
Z |
-3/5 |
-34/5 |
0 |
0 |
7/10 |
9/10 |
|
0 |
- |
|
W |
-4/5 |
-2/5 |
0 |
0 |
-2/5 |
1/5 |
|
0 |
- |
|
Таблица 19 - Симплекс – таблица 4 | |||||||||
|
х3 |
2 |
3/2 |
0 |
1 |
0 |
-1/4 |
|
|
4/3 |
|
х4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
|
|
2 |
|
х2 |
2 |
-1/2 |
1 |
0 |
0 |
1/4 |
|
|
- |
|
Z |
-2 |
-15/2 |
0 |
0 |
0 |
5/4 |
|
|
- |
|
W |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
- |
|
Так как в строке W- задачи все оценки нулю, значит, получен начальный опорный план. | |||||||||
|
Таблица 20 - Симплекс – таблица 5 | |||||||||
|
х1 |
4/3 |
1 |
0 |
2/3 |
0 |
-1/6 |
|
|
|
|
х4 |
2/3 |
0 |
0 |
-2/3 |
1 |
-1/3 |
|
|
|
|
х2 |
8/3 |
0 |
1 |
1/3 |
0 |
1/6 |
|
|
|
|
Z |
8 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
|
|
|
