Контрольные вопросы и упражнения

1. Дана задача линейного программирования

Что в этой задаче является целевой функцией, системой основных ограничений, условием неотрицательности, ограничениями?

Составить математическую модель задачи

2. Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используется два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1кг мороженого и суточные запасы даны в табл. 2. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более, чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 16 р., а шоколадного – 14 р. Какое количество мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Таблица 2 - Исходные данные задачи 2

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого		Запас, кг
	Сливочное	Шоколадное
Молоко	0,8	0,5	400
Наполнители	0,4	0,8	365

3. В суточный рацион включают два продукта питания П₁ и П₂, причем продукта П₁ должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П₁ составляет 2 р., продукта П₂ – 4 р. Содержание питательных веществ в 1ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице 3. Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.

Таблица 3 – Исходные данные задачи 3

Питательные вещества	Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта		Минимальная норма потребления
	П1	П2
А	0,2	0,2	120
В	0,4	0,2	160

4. Влад – студент-первокурсник. Он пришел к выводу, что одна только учеба, без ежедневной игры в баскетбол, плохо влияет на его умственное, нравственное и физическое развитие. Поэтому он решил распределить свое дневное время (примерно 10 часов) для учебы и игры в баскетбол. Привлекательность игрового времени он оценивает в два раза выше, чем привлекательность времени, затраченного на учебу. Но, имея совесть и чувство долга, Влад решил, что время для игры не должно превышать время учебы. Кроме того, он заметил, что, если выполнять все учебные задания, на игру останется не более 4 часов в день. Помогите Владу распределить время так, чтобы он получал максимальное удовольствие и от работы, и от игры.

2 Различные формы записи задач линейного программирования. Приведение задачи к каноническому виду

2.1 Каноническая форма записи задач ЛП

	(целевая функция)
	(система ограничений)	(1)
	(ограничения неотрицательности)

2.2 Симметричная форма записи задачи ЛП.

2.3 Общая задача линейного программирования.

2.4 Приведение задачи к каноническому виду.

Задачи линейного программирования могут быть представлены в любой форме, но все их можно привести к каноническому виду, в которой целевая функция Z должна быть максимизирована, а все ограничения должны быть заданы в виде равенств с неотрицательными переменными. Приведем правила, по которым произвольная задача линейного программирования сводится к каноническому виду:

1. Если требуется найти минимум Z, то, заменяя Z на (-Z) переходят к задаче максимизации

2. Ограничения-неравенства вида преобразуются в ограничения-равенства путем прибавления к левым частям дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных

3. Ограничения-неравенства вида преобразуются в ограничения-равенства путем прибавления к левым частям дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных

4. Дополнительные переменные в целевую функцию вводятся с коэффициентами, равными нулю:

5. Переменные любого знака заменяются разностью двух других неотрицательных переменных:

Замечание: вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл, связанный со смыслом задачи. Например, в задаче об использовании ресурсов они показывают величину неиспользованного ресурса.

Пример. Записать в канонической форме задачу:

Решение: Введем в левую часть первого ограничения дополнительную переменную (со знаком «+»); второго и третьего ограничений дополнительные переменныеи(со знаком «-») соответственно. Итак, каноническая форма задачи имеет вид:

Пример. Записать в канонической форме задачу.

Решение: Перейдем к задаче на отыскание максимума целевой функции

Вычитая дополнительную переменную из левой части первого неравенства, переходим к уравнению. Добавляя дополнительную переменнуюк левой части второго неравенства, также переходим к уравнению. Произвольную переменнуюзаменим разностью двух неотрицательных переменных,и. Итак,