6. Подільність цілих чисел, ділення з остачею.

Нехай a i b - цілі числа, b≠0, говорять, що а ділиться націло на b

Ділення націло виконується не завжди на Z, проте, якщо виконується, то визначається однозначно

Д-ня. Припустимо, що існує два представлення: а=bq₁ та а=bq₂, q₁, q ₂, єZ віднімемо рівняння, одержимо b(q₁-q₂) =0 Так як b≠0, то q₁-q₂=0 → q₁=q₂ і представлення єдине.

Властивості:

1.

Справді а=а*1, q=1

2. ,, та

Дійсно, у першому випадку q±а, в другому- q= -1

3.

Дійсно, при q=0, маємо вірну рівність 0=b*0

4.

5.

Д-ня. За умовою а=bq1, q1єZ, b=сq2, q2єZ, тоді а=сq´, де q´=q1q2єZ, звідки а:с

6.

Д-ня. За умовою існують q₁, q₂єZ такі, що а₁=bq₁ , а₂=bq₂, додамо ці рівності а₁+а₂=b(q₁+q₂) → а₁+а₂=bq´ (q´=q₁+q₂), а отже а₁+а₂ ділиться націло на b

7.

8.

Д-ня. За умовою а=bq, qєZ тоді → аⁿ : b

9. ,,,…

Д-ня випливає з властивостей 6 і 7.

10.

Оскільки в кільці цілих чисел ділення націло виконується не завжди, виникає бажання так узагальнити поняття ділення, щоб воно виконувалося для всіх цілих чисел.

Нехай аєZ, bєN говорять, що а ділиться з остачею на b, якщо існує представлення а=bq+r, причому qєZ, rєZ, 0≤r<b

Теорема (про ділення з остачею):

Для довільного цілого а та натурального b ділення з остачею існує і однозначне.

Д-ня. Розглянемо 3 можливі випадки в залежності від а.

І ) а=0 тоді візьмемо bєN, q=r=0, 0=b*0+0

ІІ) а>0 Якщо 0<а<b, то а=b*0+а, q=0, а=r 0≤r<b.

При а≥b розглянемо ряд чисел b, 2b, 3b, …, kb, … Очевидно, що можна вказати таке число kєN, що kb≤а, (k+1)>а, позначимо це k через q тоді qb≤а≤(q+1)віднімемо від всіх частин рівності qb будемо мати 0≤а-qb<b позначимо а-qb=r, тоді а=qb+r і 0≤r<b

ІІІ) а<0 тоді -а>0 і за попереднім пунктом –а=bq´+r´, 0≤r´<b помножимо останню рівність на -1. а=-bq´-r´, а=b(-q´)+(-r)

Якщо r´=0, то q=-q´, r=-r´=0 і а=bq+0

Якщо r´≠0, то у правій частині рівності (*) додамо та віднімемо b. а=b(-q´)+b-b-r´=

=b(-q´-1)+(b-r´) покладемо q=-q´-1 та r=b-r´ тоді остання рівність матиме вигляд а=bq+r.

Оскільки 0≤r´<b /*-1

0≥-r´>-b /+b

b≥b-r´>0 b≥r>0. Оскільки r´≠0, то 0<r<b або 0≤r<b

Єдиність Припустимо, що існує два представлення а=bq1+r1 0≤r1<b

а=bq2+r2 0≤r2<b Віднявши рівності маємо

0=b(q1-q2)+(r1-r2), b(q1-q2)=r2-r1

Оскільки ліва частина рівності ділиться на b, то і права ділиться на b. Враховуючи, що r1<b та r2<b тому (r2-r1)<b, отже r2-r1=0, звідки r1=r2, тоді b(q1-q2)=0, а оскільки b≠0 то q1-q2=0, q1=q2 і представлення єдине.

7. Найбільший спільний дільник двох чисел. Алгоритм Евкліда Найменше спільне кратне і його зв’язок з найбільшим спільним дільником.

Спільним дільником цілих чисел а і b називають таке ціле число с, яке є дільником кожного з чисел

→с=СД(а,b)

СД чисел а і b називають їх найбільшим СД якщо він ділиться на будь-який інший спільний дільник. Позначення d=(a, b)

Спосіб знаходження НСД був запропонований Евклідом у 7 Книзі начал, та носить назву алгоритму Евкліда

Оскільки НСД (а,b)=(-а, b)=(а,-b)=(-а, -b) то завжди можна вважати, що а і b єN. Розділимо а на b з остачею а=bq0+r0 0≤r0<b. Якщо r0=0, то а=bq і НСД(а,b)=b Нехай r0≠0 тоді розділимо b на r0 з остачею: b=r0q1+r1 0≤r1<r0. Якщо r1≠0 то r0 ділимо на r1, r0=r1q2+r2, 0≤r2<r1

………………………………………

Оскільки послідовність остач r0>r1>r2>…>0 є строго спадною і обмежена знизу числом 0, то через зчисленне число кроків остача від ділення r_і на r_і+1 дорівнюватиме 0Нехай це станеться на n+2 кроці. Тобто r_n-2=r_n-1q_n+r_n 0≤r_n<r_n-1 r_n-1=r_nq_n+1 Тоді остача r_n і буде НСД, а вказані рівності представляють собою алгоритм Евкліда

а=bq₀+r₀ 0≤r₀<b

b=r₀q₁+r₁ 0≤r₁<r₀

r₀=r₁q₂+r₂ 0≤r₂<r₁ (1)

…………………….

r_n-2=r_n-1q_n+r_n 0≤r_n<r_n-1

r_n-1=r_nq_n+1

Теорема. Якщо а, bєN , а не ділиться на b то НСД цих чисел є остання відмінна від нуля остача у алгоритмі Евкліда.

Д-ня. Покажемо спочатку, що r_n=СД(а,b) для цього розглянемо рівності 1 знизу вгору. З останньої рівності випливає, що r_n-1 ділиться націло на r_n, з передостанньої r_n-2 ділиться націло на r_n, і так далі, з четвертої r₁ на r_n, з третьої – r₀ на r_n, а раз так то і b ділиться на r_n і а ділиться на r_n. Отже r_n=СД(а,b) Покажемо, що r_n:с, де с-довільний дільник (а,b). Розглянемо рівності 1. Оскільки а:с і b:с, то і з першої рівності r₀:с, з другого рівняння r₁:с … r_n:с, отже r_n=НСД(а,b) за означенням.▲

Зазначимо, що НСД 2 чмсел визначається однозначно, справді нехай Оскільки d1 і d2 СД(а,b) тоді за означенням НСД і→d₁=d₂

Властивості НСД

1.

2. Якщо aєZ, bєN і а=bq+r, 0≤r<b, то (а,b)=(b,r)

Д-ня. Позначимо d=(а,b) та покажемо, що d=СД(b,r). Оскільки а:d і b:d і а=bq+r то r:d, отже d=СД(b, r). Покажемо, що d:с=СД(b,r), оскільки с-СД то b:с та r:с, то а:с (а=bq+r) тоді с=СД(а,b) і за означенням d:с. Тобто (а,b)=(b, r)▲

3. Якщо а і bєN і НСД(а,b)=d, то (ма,mb)=md

Для доведення слід проаналізувати рівняння алгоритму Евкліда помножені на m.

4. Для довільних а,bєN , якщо с=СД(а,b), то

Д-ня. (а,b)==с▲

5. . Для довільних а,bєN де (а,b)=d

Д-ня випливає з попереднього

6. .Якщо а,bєN, аb:с і (а,с)=1 →b:с

Д-ня. аb:с (за умовою) bс:с, тому с=СД(аb,bс) з іншого боку (аb,bс)=b(а,с)=1 За означенням НСД b:с▲

7. . Для довільних а,bєN існують цілі числа u і v такі, що аu+bv=d, d=(а,b) лінійне представлення НСД чисел а і b.

Натуральні числа а і b називаються взаємно простими, якщо їх НСД=1

Ціле число М називається СК чисел а і b якщо воно ділиться на кожне з цих чисел. Додатнє спільне кратне чисел а і b називається найменшим СК, якщо воно ділить кожне спільне кратне.

Теорема.

Д-ня. Позначимо СК (а,b)=m, (а,b)=d. Тоді а:d, b:d і а=а₁d, b=b₁d причому (а₁, b₁)=1. Оскільки m=СК(а,b), то m:а, m=аk, kєZ і m:b. Тоді , або=Звідси. Оскільки (а1, b1)=1, тоабо. Тоді=абоЧисло m буде найменшим при зданих а і b, якщо t≠1.

Тобто ▲

Властивості НСК.

1.

Д-ня. Знайдемо НСК [ab,bc] за останньою теоремою.

▲

2.

Аналогічно тому, як були введені означення НСД та НСК двох чисел можна ввести поняття НСД та НСК кількох чисел.